St. Kaczmarz. Über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen. 149b

weil J(f— Snkf dx = r nk ] daraus folgt die Konvergenz der Reihe

a

2(f-s nk f fast überall, es konvergiert also s nlc (x)—+f(x) fast überall.i=1

Es bleibt zu zeigen, daß die obige Folge n u und die RademacherscheFolge identisch sind.

co

Es sei also n k so gewählt, daß 2Jr„ k konvergiert; dann ist

k=l

fn k — ¿ k 1 "I - ®îiî+2 "H.- • • "h ®n* +1 ) i

i ¡t=i

œ 0

setzen wir i p(n) = k für n k <n <L n k+1 , dann ist 2}a n ip(n) konvergent

71— 1

und die Rademachersche Folge ist identisch mit der Folge n k . Umgekehrt,

CO ^

es sei y(n) eine monotone Folge, für welche yj(n)— » + oo, 2Ja¿yj(n)

n= 1

konvergiert. Dann ist

00 00 o 9 00 o '

U r nk =ü h (a nk+ 1 + .. • + a»* +1 ) < V (?');

k= 1 i= 1 7=1

es konvergiert also r n ,.

Satz I. Die Folge s nk (x) ist fast überall konvergent, wenn die Reihe

00 ^

yj konvergiert.k= i 1' k

Beweis. Es ist

(f— s n k ) (/" s n k+] ) — ( S »fc + 1 s n k )(%f S nk s n k + 1 )-

Nach der Schwarzsehen Ungleichung ist

6 o

A k = §\{f Snk) (f $n k + 1 ) \dx^V(r„ k ?"n* + 1 ) (Xn k r n k+1 ~f" 4î" n . + J ),a

also

= 2 V ( ?■«/- r n k + 1 ) r nn •

Die Reihe V(r„ A — r nk+] )r„ k konvergiert, es ist nämlich

k= i

co / CO co

V(r„ Ä - r n , +] >„ t ^ 1/ 2]Yk(r nk - r„ k+1 )-T="

i ' k= 1 i=l » K

Die zweite Reihe rechts konvergiert laut Voraussetzung, auf die ersteReihe wenden wir Abels Transformation an:

p p

JJ^k{r nk — r nk+1 ) = 2j r nk (Yk -Vk - l) - Yp-r np „

k=1 k=1

= Z ñ+fk^í