150 St. Kaozmarz.

Die Summe rechts konvergiert für p—>-00, das zweite Glied

r.

»♦.Vp—0, weil

W/M

Y r Y — Y ( 1 1

n/i n/c + ! Uk n/( + i , /I 1

]k fk + 1 } k r ""' +I \>' k fk+ll > 0 '

I*

es sind also die Glieder der konvergenten Reihe monoton ab-

1 &

r

nehmend, deshalb 1c • ~~ r = V k r n , —>- 0.fk

CO

Die Reihe £ A k ist also konvergent. Daraus folgt, daß die Reihe

i

2{{f— s n,y — (f— s nk + 1 ) 2 }, also auch die Folge (f— s nk )~ fast überall

b

konvergiert. Da aber f (f — s nk f dx^ ►O, konvergiert (f— s«,.)—» 0 fastüberall. °

Bemerkung. Ähnlich wie vorher kann man feststellen, daß die

Bedingung ~ konvergiert" äquivalent ist der BedingungT ' c _

Yk

Erweiterungen.

Es wäre interessant zu untersuchen, ob man den Satz I noch ver-

CO ^

schärfen kann. Die Konvergenz der Reihe ^ genügt jedoch nicht zur

¡6=1

Konvergenz der Folge s n ,.(x), wie im folgenden gezeigt wird. Nehmenwir eine Orthogonalreihe a n q) n {x), welche überall divergiert, während

n

die Reihe y¡añ\gn konvergiert 2 ). Es ist nun y 1 ^ konvergent, weil

n ' k

~fc = 2 a n (x + 2" + ' • ' + ^ITl) < 2(* + lg ( n — 1)) '

¿•=1,71=1 1

CO

V~7 f

und die Folge s k (x) divergiert. Ob die Bedingung ,, y, — konvergiert",

k= i h a

für §<a< 1, genügend ist, kann ich vor der Hand nicht entscheiden.

Mit Hilfe des Satzes I kann man einen neuen Beweis des folgendenSatzes führen:

Satz II. Wenn die Reihe y Y lg n konvergiert, dann ist die

i

Reihe a n <P n (x) fast überall (Gl)- summierbar, d. h. Sl + s " ^ + s "

konvergiert fast überall*).

3 ) Eine solche Reihe hat D. Menchoff Fund. Math. 4 (1923), S. 104 angegeben.°) Vgl. meine Note in Math. Zeitschr. 23 (1925), S. 266 u. 268.