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Über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen. 151

Zu diesem Zwecke beweisen wir den folgenden

CO

Satz III. Damit die Orthogonalreihe .¿¡"a,, ?>„(»)> für welche

i

2J an konvergiert, fast überall (C1)-summierbar sei, ist notwendig undhinreichend, daß die Teilfolge s 2k (x) fast überall konvergiere.

B eweis. Die Notwendigkeit folgt aus einem Satze von A. Kolmogorow 4 ),der besagt, daß die Reihe

cc

VI, \ 2 S, -f- S 3 + . . . + S„

2j (<V - «2 *) » W0 °V — p

*=1

fast überall konvergiert.

Jetzt nehmen wir an, daß s^k(x) fast überall konvergiert.

Nach dem Satz von Kolmogorow konvergiert dann fast überall dieFolge o^k(x). Nehmen wir die Differenz a. — o„k, wenn 2 a ' -1 < j < 2*.Es ist:

— <v = (oj — a¿ +1 ) + (öj- +1 — a i+a ) + ... + (o 3 k_ 1 — a„k ,

also

I Of — o 2 * I £ Vj 1 0; - o j+1 \^ + Vj + l\o j+1 - a i+2 1 -= + ...

1

+ V2 1

1 I k 1 ^2 * I

die Schwarzsehe Ungleichung liefert

Í 2*-l

2^—1 2^ — 1

<M S n ( a n -°n + l)" U J>

2^ — 1 + i

da aber

2 k -l

2 i < lg(2 i — 1).— lg 2 fc—1 < lg 2,

2 ^ *~ 1-f 1

CO 9

und die Reihe ¿ n(a n — o n + 1 )" fast überall konvergiert 5 ), so konvergiert

1

^0. Die Reihe ist also fast überall (C1)-summierbar.

°j - °" k

Beweis des Satzes II. Da Vlg 2 k , so ist die Folge s 9 *(¡c)

nach dem Satz I (Bemerkung) fast überall konvergent. Aus dem Satz IIIfolgt die ( G 1)-Summierbarkeit der Orthogonalreihe fast überall.

Auf Grund dieses Beweises erhält man aus jeder Verschärfung desSatzes I eine entsprechende Verschärfung des Satzes II.

4 ) Fund. Math. 5 (1924), S. 96. — 6 ) Siehe Anm. 3 ).

(Eingegangen am 18. 5. 1925.)

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