Über das Gesetz (1er großen Zahlen.

Von

A. Khintchine in Moskau.

§1.

Problemstellung.

Man denke sich eine unbegrenzte Reihe von Versuchen angestellt, diesich alle auf das Eintreten eines Ereignisses E beziehen und voneinanderunabhängig gedacht sein mögen. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretensvon E im n- ten Versuch sei mit p n bezeichnet. E sei unter den n erstenVersuchen m(n)- mal eingetreten; man setze

n

ju(n) = m(n) — 2JPi-

i— 1

Der berühmte, von Poisson aufgestellte und von TchebychefE zuerst strengbewiesene Satz, den man gewöhnlich als das Gesetz der großen Zahlenbezeichnet, lautet: Sind die Zahlen e > 0 und r¡ > 0 beliebig vorgegeben,so kann man für ein genügend großes n die Relation

(1) \fz(n)\< en

mit einer Wahrscheinlichkeit >1 — r¡ behaupten.

Auch die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Relation (1) für alle n > Nerfüllt wird, strebt bei unendlicher Zunahme von N gegen 1; diese wich-tige Tatsache ist, wie mir scheint, nicht genügend hervorgehoben worden;sie bildet keine direkte Folgerung des Poissonschen Theorems und kannauch nicht durch seinen üblichen, von Tchebycheff herrührenden Beweisfestgestellt werden; meines Wissens ist in der Literatur überhaupt keinallgemeiner Beweis dieses Satzes angeführt worden. Wichtige Spezialfällehat Herr Borel in seinen bekannten Untersuchungen über die Verteilungder Ziffern in systematischen Entwicklungen der Zahlen 1 ) bewiesen; und

1 ) Vgl. z B. die Note V seiner Leçons sur la théorie des fonctions, 2. Auflage, 1914.