A. Khintchine. Gesetz der großen Zahlen.

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die von ihm benutzte sinnreiche Methode reicht auch vollständig aus, umden Satz allgemein zu beweisen.

Ferner ist der Satz von anderen Autoren 3 ), wieder in Spezialfällen,noch weiter verschärft worden: die Ungleichung (1) wurde durch schärfereUngleichungen ersetzt, und die Behauptung blieb erhalten.

Die Aufgabe, eine exakte obere Grenze für die Größenordnung derFunktion ¡u (n) aufzusuchen , habe ich vor kurzem für den BernoullischenFall (p 1 = p^ = ... = p) exakt formuliert und auch die Lösung derselbenfür diesen Fall gegeben 3 ). Vorliegende Abhandlung enthält die Lösungdesselben Problems für eine viel umfassendere Klasse von Fällen.

Die nachfolgende Definition der exakten oberen Grenze für ¡ li (n) ist, sovielich sehe, die natürlichste und, streng genommen, auch die einzig mögliche.

Definition. Als eine exakte obere Grenze der Abweichung /u (n) be-zeichnen wir im folgenden eine positive Funktion %(w), wenn sie folgen-der Bedingung Genüge leistet.

Für jedes Paar positiver Zahlen ô und r¡ gibt es eine solche ganzepositive Zahl n 0 — n 0 (ô, rj), daß mit einer Wahrscheinlichkeit >1 — r¡zweierlei behauptet werden darf, nämlich:

1. Für alle n> n n ist < 1 + <5 ;

X( n )

2. Für wenigstens ein n> n 0 ist i> 1 — <5.

Dabei kann n 0 beliebig groß gewählt werden.

Man ersieht leicht, daß, wenn eine dieser Forderung genügendeF unktion %(n) gefunden ist, auch jede Funktion der Form x («) + o(%{n))eine Lösung des Problems liefert. Die Existenz einer Lösung % (n) kannnatürlich nicht a priori behauptet werden.

In meinen bei :i ) zitierten Arbeiten habe ich gezeigt, daß im Bernoulli-schen Falle die Funktion

x(n) = F2p(l — p) n.lglg?i

die gesuchte Lösung liefert 4 ). Es lag die Vermutung nahe, daß man ineiner Reihe allgemeinerer Fälle

(2) X (»)= 1/2 2^(1 — Pi) lg lg »

2 ) Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre 1914, S. 421 ; Hardy und Littlewood,Some problems of diophantine approximation, Acta Mathematica 37 (1914), S. 185;Khintchine, Über dyadische Brüche, Math. Zeitschr. 18 (1923), S. 109.

3 ) Comptes Rendus 178(1924), S. 617—618; Fundamenta Mathematicae 6 (1924),S. 9—20.

4 ) Ich habe in jenen Arbeiten für die beiden Zahlen ô und i] einen einzigenBuchstaben s geschrieben, da mir die gegenseitige Unabhängigkeit dieser Zahlen