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A. Khintchine.

setzen können wird. Das Ziel der vorliegenden Abhandlung ist, die Be-stätigung dieser Vermutung für eine sehr umfassende Klasse von Fällenzu erbringen. Es gilt nämlich der

Satz. Die durch (2) definierte Funktion %{n) liefert eine exakteobere Grenze der Abweichung ,u(n), sobald alle Größen p¡ und 1 — p {oberhalb einer positiven Schranke a bleiben.

Dem Beweise dieser Behauptung sind die beiden folgenden Paragraphengewidmet. Hier möchte ich noch bemerken, daß die Lösung

die unter den Voraussetzungen unseres Satzes mit der Lösung (2) asympto-tisch zusammenfällt, aller Wahrscheinlichkeit nach für noch allgemeinereFälle Geltung behält.

Im folgenden sollen L lt L a , ... absolute positive Konstanten bedeuten;L 1 (x,y, ...), L 2 (x,y,...) sollen positive Größen sein, die nur vonx,y,... abhängen.

Es sei ip(n) eine positive Funktion des Argumentes«, und man setze

und die Voraussetzung des Satzes in § 1 sei dauernd erfüllt gedacht.Hilfssatz 1. Es ist für n>L 3 (a) und jedes ganze positive

außer Zweifel schien. Dieser Umstand hat Herrn Borel (vgl. seine Bemerkungen zumeiner Note) die Veranlassung gegeben, das von mir gelöste Problem als ein in ge-wissem Sinne willkürliches zu betrachten und nach der Funktion zu fragen, die inden Ausdruck für y_ (n) an Stelle von lg lg n tritt, wenn <5 und t] statt der Relation<5 = r¡ durch eine andere einfache Relation <5 = q> (tj) verbunden werden. Indem ichnatürlich für dieses ärgerliche Mißverständnis mich allein verantwortlich fühle, mußich hervorheben, daß die beiden Zahlen S und r¡ (also die beiden s in meiner früherenBezeichnung) vollständig unabhängig voneinander oder auch irgendwie verbundengedacht sein können, ohne daß dadurch der Wortlaut der Behauptung irgendwie ge-ändert wird, so daß letztere eine in diesem Sinne vollständig allgemeine Geltung hat.

§2.

Aufstellung der Hilfssätze.

P(n, v) bedeute die Wahrscheinlichkeit der Relation

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(3)