Gesetz der großen Zahlen. 155

Beweis 5 ). Wir beginnen mit der Betrachtung des Ausdrucks

(4)

t=l

(Ii vi... w >

/t, r, ..

wo die Summation über das durch

0 <. /J, ^ V ^ co, fx-\-v-\-...-\-cü'=k

bestimmte Gebiet zu erstrecken ist und H fl , v „ die symmetrische Funktion

der Produkte p i q i bedeutet, deren allgemeines Glied durch

gegeben ist, wobei i 1 , ¿ 3 , .. ¿ s voneinander verschiedene Zahlen der Reihe1,2, ..., n bedeuten.

Offenbar ist

¿{Piqj) ¿(PÍQÍ)'

i= 1 ' U=1 / H = 1

Daraus ergibt sich

n

H 2 (Pill) 11 S(Pi1i) v Z¡(Vi<l¡Y

/ li , y, .. oj ^ i— 1 i— 1 ¿= 1

/ n \ v í n

I j V í h) ( 2^ Vi 1 A [ 2^ Pí 2/

<

a ¿, '-n f ' a iv -W a 2o} -n'° M ^-i+"-i+ • • ■ +«-i 'Ist wenigstens eine der Zahlen /u, v, .. m größer als 1, so findet mandaher

' R „-s*

f.t, V, CO a

C ~h~ •

Die Anzahl der Glieder rechts in (4) ist offenbar gleich der Anzahl derZerlegungen der Zahl k in positive Summanden, wenn zwei Zerlegungen,die . sich nur in der Ordnung der Summanden unterscheiden, als identischaufgefaßt werden. Diese Anzahl ist jedenfalls kleiner als 2 k , wie einerohe Abschätzung leicht ergibt. Da ferner k\ eine obere Grenze für dierechts in (4) auftretenden Polynomialkoeffizienten ist, so erhält man

' <2*4! < í»*fíá = is ,"»♦"« fe»""

C n n \a- ej nWegen der getroffenen Voraussetzung (3) ergibt das für n>L 1 (a)( 5) i| ^ L. 2

rz I c !<í^-

5 ) Die Bausteine dieses Beweises können in einer von MarkofE ersonnenen Methodeerblickt werden (vgl. sein Buch „Wahrscheinlichkeitsrechnung", 4. russische Auflage,1924, insbes. S. 148—152). Ihre Verwendung mußte jedoch hier, dem gegenwärtigenZiele entsprechend, wesentliche Modifikationen erfahren.