156 A. Khintchine.

Andererseits betrachten wir jetzt die mathematische Erwartung Bder Größe

M«)} 2 *-

Bezeichnet man mit x¡ eine Größe, deren Wert gleich 1 oder 0 ist,je nachdem das Ereignis E beim ¿-ten Versuche eintritt oder nicht, so istoffenbar

B = U {( 2 (»< — Pi ) f * • Pi + (1 - x t )q t )>

XI i= 1 ¿=1

= 2j{ U Jß\ k)l X\ 8a 'i>> ** ¿TfoP« + (!-*<)?<) }•

X, y<x,ß, r ¿=i >

Dabei ist die äußere Summation über alle möglichen Wertsysteme der x {zu erstrecken, während im letzten Ausdruck das Gebiet der innerenSummation durch

0 <cc<ß u + ß + ... + l = 2k

festgelegt wird; S a ,ß bedeutet die symmetrische Funktion der Diffe-renzen x¿ — p { , deren allgemeines Glied durch

(*«, - Pi>Y («<, - PhY ■ ■ • <«*, - Pis)''gegeben ist, wobei voneinander verschiedene Zahlen der

Reihe 1, 2, ..., n bedeuten.

Indem man die Ordnung der Summation wechselt, erhält man

(6) B- £

a, ß, .. A ' r

WO

Ga, ß,.l = 2 { Sa, ß * #(»< Vi + (1 — Xi) q { )}

Xi »'= 1

die mathematische Erwartung der Funktion S a ,ß,..,,ii darstellt.

Unser Ziel ist zunächst, eine obere Abschätzung für B¡C zu gewinnen.Zu dem Ende gehen wir von der leicht beweisbaren Identität

(*2 ,2 2 — Hl,l, ...,i

aus. Wegen (5) erhalten wir für n~> L 1 (a)

®s, 2,.. 2 1~C jfcí

<ü

^ k# i:!'

lg n klalso für n> L 2 ( a )

®2,2 2 ^ 2

C Jfe! '

( 2 *0' ^2,2 2 (2t)!-2 „ , (k\*

2 2k C < 1 2k k\ 3 V e, '