Gesetz der großen Zahlen. 157

Betreffs der anderen Glieder der Summe (6) bemerken wir zunächst,daß ihre Anzahl ganz wie diejenige für (4) abgeschätzt werden kann undsich kleiner als 2 ai ergibt. Ist eine der Zahlen a, ß, .. A — 1, so ver-schwindet bekanntlich das betreffende G a ,ß • Wir haben demnach nur

noch diejenigen Glieder zu betrachten, in welchen wenigstens eine derZahlen a, ß, .. 1 größer als 2 ist.

Offenbar ist allgemein

G ",ß .2 .(?«,+ % pï^PÙ K + ■ ■ ■ (Pi*il + %PD '

tj, lo, . . 1s

wo die Summation über alle möglichen voneinander verschiedenen Zahleni x , ¿ 3 , ..., i s der Reihe 1, 2 , .n zu erstrecken ist. Daraus folgt

n

G a ,ß,< [ZVi^Pr 1 +2< a-1 )) (2Pi<li(Pt X +^ -1 )) (UP t 9i(P} 1 + 9¡ M).

»=1 —

und weiter

'/ , ' -H

t=l t=l

G , 2p i l ) Z Pili (Vi 1+ Vi .ZVi*i(Pi * + «< *)

^a,ß,^ i=l 1=1 1=1

C « ' ß n Í

(Zp,q,) 2 (.ZVili) 2 {ZV,<li?

i — 1 ¿ = 1 ¿=1

<

a~ 2k

a ß i '

- —1+ 1 + .. .4 1

2 2 2

n

ist wenigstens eine der Zahlen a,ß,...,X größer als 2, so ergibt sichhieraus

G a,ß ^ a~ 2k .

C n '

denn im Falle, wo nur eine von den Zahlen u,ß,...,l größer als 2 ist,muß sie wenigstens gleich 4 sein, da « —/ff —(— . .. — A = 2 h eine geradeZahl ist.

Somit findet man für n> L 2 (a)

ß / 7, \fc

2 k C <

£3(7) +2 2 *^-(2 k)\

<4 7

4 1

n

f lr \ b ( T AjjlgÄ + Ä* fl + 2 lg J+lg&\

was wegen (3) für n>L s (a)