158 A. Khintchine.

zur Folge hat. Daraus ergibt sich

B B T ( k N k

< L.

v 2k 2*C(y(w))* 5 \eif> (n)/

Die linke Seite ist hier die mathematische Erwartung der Größe

n(n)\ 2k

Nun ist bekanntlich die mathematische Erwartung eines jeden posi-tiven Ausdrucks in allen Fällen größer als die Wahrscheinlichkeit dafür,daß der betreffende Ausdruck größer als 1 wird (die Anwendung dieserTatsache bildet eine der Hauptideen der Methoden von Tchebycheff und

Borel). Folglich erhält man a fortiori für n>L 3 (a ) und k

P(n, v)<L a

8 Ve yj (n)/ 'womit Hilfssatz 1 bewiesen ist.

Hilfssatz 2. Für n > L a ( a ) und 1 ip(n) <1P(n,v) < L,

Beweis. Die Anwendung von Hilfssatz 1 mit &=[y>(îi)] liefertP(n, V) < L 0 e-v(»)+i = L 7 e-cW,

w. z. b. w.

Hilfssatz 3. Für n~> L i {a) und yj (n) ¿sí

_ lg y

P(n, V) < L 1 e 1 8 1 8 v .

Beweis. Die Anwendung von Hilfssatz 1 mit & = liefert

r Ign 1 _ lg n

P(n,v)< L e e~ < L 7 e lBl ®",

woraus a fortiori

_ Igv

P(rc, v) < L 7 e lglgvfolgt, denn für r > ?i ist offenbar P(n,J') = 0.

Hilfssatz 4. Piïr n>L. n (a) und ip(n)^> 1 ¿sí

_ 'S''

P(ra, v) < L 7 {e-v(«) + e tete'"}.

Beweis folgt unmittelbar aus den Hilfssätzen 2 und 3.

Hilfssatz 5. Für n>L e (a) und y (n) ¡> e i^ig

P(n, r) < L 0

eyj (n) lg Igw

lglgv 1