Gesetz der großen Zahlen. 159

Beweis. Die Anwendung von Hilfssatz 1 mit: Ic = liefert

lg n lg y x

/ îp « Y gign T ( ig» y glgv

{ n > ' ) < e \e i/i ( n ) lg lg nJ n Ve y (n) lg lg m /

da wieder für v>n P{n,v) = 0 ist.

Von hier an soll der Kürze halber für jedes ganze positive n dauernd

*00 = ]/ 2 (.^ *8*

gesetzt werden.

Hilfssatz 6. Bedeutet A{n) die Wahrscheinlichkeit der Relation

|/i(«)| > (1 + e)z(n) (e>0),

so ist für n> L.{a)

< (lgn) 1+L ' {e) '

Beweis folgt aus Hilfssatz 2 mit

yj(n) = ( 1 +e) 2 lglgw.

Hilfssatz 7. Bezeichnet man mit B(n t ,n 3 ) die Wahrscheinlichkeitder Relation

( H \ ^ _ i «(«g)

lj *K) zK)

so ¿sí für n 1 > L- (a, e), n t < n 2 < 2n x ,

> £ i

»jlglgn, lg «j

jusia, E) ~ -Lin

B (n 1 , w 2 ) < {e 8 "s - " 1 +e ~>gig»i}.

Beweis. In der Reihe der Versuche von (n 1 + l)-ten bis zum n„-tenmöge das Ereignis E m (n l , n 2 )-mal eintreten. Setzt man

n,

¡ u(n 1 ,n.¿) = m(n 1 ,n„) — £

¿=»i+i

so ist offenbar

^(«a) = + / u(« 1 , n 3 ),

so daß statt (7) auch

r 1 \z(«i) Z(«s)/ *(»2)

> e

geschrieben werden kann. Daraus ersieht man, daß, wenn (7) erfüllt ist,notwendigerweise auch eine der beiden Relationen

(8) ! x { n i){ / -, 7— I > 4-

K r K iy Iz (wj y. (w,)J ! 2