160und

(9)

A. Khintchine,

M(w t , n 2 )2 («a)

£

> ö

erfüllt sein muß. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Relationen seien mitbzw. _B 3 (7^, n 2 ) bezeichnet, so daß also

(10) B{n lt n 2 )^B 1 (n 15 w 3 ) + rc 3 )

ist.

Die Ungleichung (8) hat zur Folge

I // (r> \ I -> -i X (^) X (n 3 ) s_ 2a 2 n 1 ig lg^ 1 ' 2 /(» 2 )-z(«i) ■' 2 x( n a) — X(ni)'

und da

xM - x( n i) < )'2 lg Ig7i7 {]/| Pi q { - j/ ¿ i; ViQiJ

n 2

2 Viii

i=n x +l

= y 2ig íg ^

]/ + |/ 2' jü; 2/

r i=i ' i=i

< 1 lg lg n,

y 2 a' 2

ist, so erhält man weiter

i i \ i 8 a 3 Í2w i y«^lglgM 1 T , \ ni n/—r~i

I M K ) I > ^ = ¿i («. «) 27fr- r % lg lg •

(n 2 — M t ) ^lglg n» — Wj

Die Anwendung von Hilfssatz 4 mit n = n 1 ,

v = L 1 (a,e) : ^ rr Jn 1 lg\gn 1 , y>(n)= U {a , O^lglg^ ^

»=i

ist für m 1 > L s (a, e ) gestattet und ergibt wegen n„ — n y < n 1

(11) B 1 (n 1 ,n i )<L.{e

Andererseits folgt aus (9) a fortiori

Jito, t)nilglg«j _£,lgn,-|

«2-»i _j_ e lglg»i>

I/*(«!,«a)|

die Anwendung von Hilfssatz 4 mit n = n 3 — n x ,

r2 (.2; Vih) IglgWi

v =9X( n i)> V(») =

S- ¿ = 1

ergibt für n 3 — n 1 > L i (a, e)

H v¡ Ii

i=n¡+l

h' n t) < L-{(.

-L s (a, e)

thlglg »1

fh-ny _L e -""lglgn^.

r lgni 1

(12) B 3 (n iy n 2 ) < iv 7

um diese Relation für alle n„ — ?ij gültig zu machen, brauchen wir nur