Gesetz der großen Zahlen. 161

n 1 >L e (a,e) zu wählen; denn dann wird für n = n. 2 — n x ^ L i (a, e)auch n < v, also B 2 (» 15 7i 2 ) === 0 sein.

Aus (10), (11) und (12) folgt, daß für n i >L 1 {a,e) und0 <n„ — n 1 <n x

< T 1 «llglg»! r Ign, •,

) — L a (a, e) — ü/ 12 -— I

B{n 1 ,n,)<L íl \e + e lgl ^|

wird, womit Hilfssatz 7 bewiesen ist.

Hilfssatz 8. Für n x > L le ( a , s), ^ < n„ < 2n x und

(13) '^lg % <L 10 (a, fi )

ist

ig«)

Lu

B(n lt n 2 ) <L 15 {l i7 (a,e)^^lg

ig ig «i

Beweis. Wir behalten die Bezeichnung des voranstehenden Be-weises bei.

Für die Abschätzung von B i (n 1 , n. 2 ) hatten wir

yj(n) >

was jetzt wegen (13) reichlich

rp(n)>L 9 (a, e) lglgn,,

/ \ Iff

y>M> i,

T v y e lg lg %

liefert.

Hilfssatz 5 ist also anwendbar und ergibt für n x > L xl (a, e)

lg«!

5i (n x , w 2 ) < L ü { L 13 (a, e) Ig ^ }

Andererseits hatten wir für die Abschätzung von B„ (n 1 , n„ ) n = n. 2 — n 1 und

v(») > L i 9 («> e) lglg» ls

was wegen (13) und n„ — n 1 < n L wieder reichlich

v(»)>7fer>

e lg lg " elglg^a-Wj)ergibt 6 ). Hilfssatz 5 ist also wieder anw endbar und liefert für n 1 > L 1S (a, e ;

ig«i

' B i {n 1 ,n i )<L ü ^L li {a,e) r ^^\gn^

ig]g«i

6 ) n„ — Mj dürfen wir auch hier größer als eine passend gewählte positive Kon-stante voraussetzen; denn für kleinere — n l verschwindet die WahrscheinlichkeitB 2 (n l , m 2 ), um deren Abschätzung es sich hier ja allein handelt.

Mathematische Annalen. 96. 11