162 A. Khintchine.

Wegen (10) erhält man also für > L lñ {a, e), ?i 9 — n 1 < n 1 , und (13)vorausgesetzt,

, is n,

Jj

B(n 1 ,n< ¡ )< L lb { L lb (a, e ) l - lgm^

lglg n¡

womit Hilfssatz 8 bewiesen ist.

Hi Ifs s atz 9. Man setze wieder voraus, daßL ie (a, s)oi 1 <ä 2 <2k 1

ist und (13) erfüllt wird. C(n 1} 7i 9 ) bedeute die Wahrscheinlichkeit dafür,daß für wenigstens ein b, n 1 < b n 3

n(b) /t(wj

z(b) z OJ

> e

r ig»i

ausfällt; dann ist

( V -n lglg,tl

G(n t , n 2 ) < (n 9 - nj L 15 | l i5 (o, e) lg»,}

Beweis. Folgt aus Hilfssatz 8 wegen

C(ro 1# n 9 ) <¡ J5(w i; 1) -f B(n lt % + 2) + ... + -B(«-i, « a )>

denn die Voraussetzungen von Hilfssatz 8 sind offenbar für jedes Paar (ii a , b)erfüllt.

Hilfssatz 10. Bezeichnet man mit D (n) die Wahrscheinlichkeitder Relation

n(n) > (1 — e)%(n),

so ist für n > L 17 ( a , e)

D (n) > L "

(lg«)

1 -£,(£)•

Beweis. Am schnellsten überzeugt man sich von der Richtigkeit derBehauptung, indem man einen Satz von Liapounoff 7 ) heranzieht, demzu-

folge die Wahrscheinlichkeit der Relation

/¿o) > * j l^ZViVi

für unendlich großes n dem Grenzwert

+ CO

~= f e~ z ~ dz1 71 J

gleichmäßig in t zustrebt, wobei das Fehlerglied von der Form

ote

') Mérn. de l'Acad. de St. Pétersb, (8) 12, Nr. 5.