Gesetz der großen Zahlen. 163

ist. Für t = (1 — e)ílglgn ergibt sich daraus

f e-'dz-bii m

J 1 n

(1—e) v'lglgn +1 ,

1 f ^ £ R (a)lgn^ 1 _-{(i- £ )VigiB« + i}" L e (a)h n

>— e z dz =—> -7= e — j

] sr J \n l'sr |w

(l-£)\/lg Ig«

also für n > ¿ 17 (a, e)

£>(»)> ^ 17 , M ,

K ' (lg w) 1 " 2 ^ 1

w. z. b. w.

§3.

Beweis des Hauptsatzes.

1.

Die positiven Zahlen r¡ < 1 und ö < 1 seien beliebig gegeben.Man setze

<5

£= 4'

= [¿]+ 2 -

ferner setze man für jedes ganze positive m

(l + t) m ^l+—^ +1 (& = 0, 1, ..., m a ).

Dann ergibt erstens Hilfssatz 6 mit n = n m 0 für m>L ls (a,e)

Ferner wollen wir Hilfssatz 7 mit n\ = n m0 , n 2 = n m k — 1 ,2,..., m aanwenden; wegen

Vr\o<j( 1 + t )" i + 1 . T<1

sind seine Voraussetzungen für m > L„ 0 (a, e) erfüllt, und wir erhalten!

r(l+Tp+l . lgm + lglg(l+r) (

■L B {a,e) -L

S(n«. 0 ,n 1 n iS )<L u le f +ï) +1 + e

lg m + lglgd+r)

z + m -L

(1+T)"

Wegen t ^ "^ 8 ist für m > L 21 (a, e)

(l + r)'"(lgm + Iglg(l+i)) r mlg(l+r)

!

L a {a,e)

1 mlg(l + r)

< ¿11 U

(1+t)'" , e 12 lgm

a + 4

- LAa \ s) >a + 3, (c i + 3)(lgm + lglg(l + r))>(« + 2)lgm

T + (T+7)™

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