164 A. Khintchine.

und folglich

( 1 -&lf lg(l-J-T)-

B (»„. o. n m _ k ) < L 1X {— + e lgm } .

Daraus folgt weiter

/ -j — -Zi-is lg (1 H- t) \

(II) ZB n mtk ) < L n {¿ + m« e lgm } =

Endlich wollen wir Hilfssatz 9 anwenden; dabei setzen wir n.—n ,

1 m ,fc '

n* = n m,ii +1> & = 0, 1, 2, .. m"— 1. Für m > ,L 23 (a, e) sind dann dieBedingungen

L ie (a, e) < n x < n 2 < 2 ,wie man leicht sieht, erfüllt. Ferner ist

also für m > L 23 (a, e)

»a-«l <- a hl,

in

^2 / I 1 \ 1 /"-I i \

— 1 lg n, < ( m + 1 ) le ( 1 + t i

Ml S 1 Wi «(l + T )'» V ^ I )

m +1 , . , / m a \ -r , ,

~ ^ ^ \ (T+t)" 1 / < 10 e )'

denn « ist größer als 1.

Die Bedingung (13) ist also auch erfüllt; damit haben wir die An-wendbarkeit von Hilfssatz 9 festgestellt.

Somit erhalten wir für m > L ni (a, e)

C ( n m,TO n m,lc + l)

//-• i \m * i i\ r ( a > s ) {(1 + *)'" r + ni"} (m+ 1) lg (1 + t)\

< \ (1+Tj ^ + 1 /M »«(1+0" /

L m\g(l+z)

^ T (l+r) m (L 2b (a,s)m\ " 1 «»

- -"15 a ) a f

m I m )

T í»lB(l + r)íl-(a-l)i 1 ,)+Z 2(i (a,í) r ^-»» g 'S™

m"

Nun ist nach der Definition von a

1 - ( a — !) £ io < 0;daher wird für m > L„_ (a, e)

. Lm

mlg(l+r)

-¿/iß ;

fc> n m,fc+i) < -fe (& = 0, l,2,...,m a —1),

m

und folglich

771 a — l

(III) 2 C(n „ » fc+1 ) < Zf 18 = to m .

i=0