Gesetz der großeil Zahlen.

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Wir bemerken zunächst, daß die Ausdrücke u m , v m , w m allgemeineGlieder konvergenter Reihen in bezug auf m sind. Deshalb können wirdie Zahl m i = m 1 (a, à , r¡) so groß wählen, daß erstens für die

Abschätzungen (I), (II) und (III) gültig werden und zweitens

U i U m + V m + W m) < I

m=m 1

(14)wird.

Dann ist erstens die Wahrscheinlichkeit dafür, daß für wenigstens einm ^ m i c ^ e Relation

I f- 1 I

^ Z(«m.o)

erfüllt wird, nicht größer als

>1

2 ¿(»„.o) < 2 «„•

m=m i w=mj

Zweitens ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß für wenigstens einPaar m, k ( m m 1 , 1 <1 k m a ) die Relation

^ o) ^ ( ^»i. k) ^ ^

besteht, nicht größer als

z(n m .o) xi n m,u)

2 2B(n m 0 , n m le ) < 2 v m .

m=m i £=l m=mj

Drittens ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß für wenigstens einn^>n m¡ , o, wenn m und k durch

(15) n mk <n<n mk + 1

bestimmt werden, die Relation

n(n)

(C)

besteht, nicht größer als

x(n) x(n m ,u)

> e

G» Til — 1 ce

2 2 C( n m ,lc> n m,lc +1)< 2, W m-

m—mx &=0 m=m i

Deswegen liefert uns die Ungleichung (14) folgendes: Mit einer Wahr-scheinlichkeit > 1 — \ dürfen wir behaupten, daß für kein n n m¡t o,

u

wenn m und k durch (15) bestimmt werden, irgendeine der Ungleichungen(A), (B), (C) bestehen wird.