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A. Khintchine.

Wir können demgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit > 1 — ~ be-

u

haupten, daß für alle n ^ n, Hi , 0

(16)

ist.

fi(n)

x(n)

H(n) fi(n m ,it) !

y.(n) %(»«•,*) 1

+

l l (ri m . fr) ( n m,o)

Z( n m,k) X( n m, o)

+

£ ( w m, o)

¿e + e + (l + e )<l + ó

2.

Es bedeute ^4 eine große, nur von a, ô und r¡ abhängende positiveganze Zalil, die später näher bestimmt werden soll. Wir wollen mit Pdie Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Bestehen der Relationen

|KA*)

I z(¿*)

(17)

(18)

>1-2«,

xU z )

¿1 — 2e für i = 1,2, . ..,k — 1

bezeichnen; £ P,. ist dann genau die Wahrscheinlichkeit dafür, daß für

¡6=1

wenigsten ein k <£ t (17) erfüllt ist.

Wir betrachten die Versuche der Nummern

A t ~ 1 + 1 bis A k ;

das Ereignis E möge dabei

M=m{A l )-m{A le ~ i )

mal eintreten.

Die Wahrscheinlichkeit der Relation

(19)

A*

M- 2

Pi

+ 1

Va j¡ Vi

' i=A k ~ 1 + 1

>1

q l lglg(A k -A k - 1 )

ist nach Hilfssatz 10 für genügend großes A größer als

Aj .

{lg(A i -4 i: " 1 )} 1 ~ I ' 2(£) '

Nun mögen (19) für einen bestimmten Wert von k und (18) fürjedes i < k erfüllt sein; wir wollen zeigen, daß dann auch (17) notwendigerfüllt sein muß.

Zu dem Ende bemerken wir, daß

M —

a *

y Pi

ist.

i=A

k-1

/X (A ') — n (A ' )

+i