Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.

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Nach (1) hat man t ^O. E s sei z. B. r < 0. Wir setzen dannvoraus, daß t ^ 0. Dann hat man für j > 0

(36) I exp [(jQ + i) t J^T] I = I exp [- jxt + {ja + ¿) t f— 1] |

- exp(— jrt) <[ exp(— xt) 1;

es ist also nach (35)

r-i-

exp [(/e + O'J'-i] ^7

i

(j = 0, 1,.. i = 0, ± 1, ...)

und die Reihe (8) ist auf der durch S3 und durch t 0 bestimmten Punkt-menge gleichmäßig konvergent.

Definieren wir eine periodische Funktionenschar v(t;x) mittels der[wegen (35) gleichmäßig konvergenten] Fourierreihe

+ 0O

(37) v(t; x) = ^J ^exp (itf— 1),

i— — CO

so ist nach (8), (35) und (36)

I z(t; x)-v(t\ x)\£2J 2J

j= 1 i = - CO

exp [(jg + i)t\— 1]

^exp(-rí) JJ ~

j=l l— — CO

■ 0, t — ► — oo.

Mithin ist (8) eine konvergente Darstellung einer asymptotischen Lösung.

Bei Briot-Bouquetschen Problemen, wo die y rekursiv berechnetwerden können, gilt bekanntlich in wenigstens einem Blatte von 58

(37)' v(t ; X ) = 0,doch ist das im allgemeinen nicht wahr.

X. Asymptotische Lösungen. Beweis der Abschätzung (13).

Bedeuten j, i beliebige Stellenzeiger, und nimmt man cp und z aus(3) bzw. (8), so ist

- +CO -fco -f CO

(38) [cpz] ji =

2J C fc exp(¿¿] , -1))^ 7 J] J^-exp[(Ze + fc)¿J— 1]

7" Je

Ä=-00 ' 1 = 0 k=-OO 6 K

+ CO -fco

yj c k exp(&ff-l)) 2] -feoxptOe+ 1]

k=-K k=- xí

+ CO +00

X 7 c k exp (let (—1)) ¿ T %exp(¿íí-1)

J*

3 *

k= — co

Oi