306 A. Wintner.

Hierbei sind die f.. Potenzreihen der VeränderlichenX ; x 0 , x ± , ..., ; î/oo> 2/oi> 2/io> • • • >

x ist der Parameter der Differentialgleichung (2), die xj o sind durch dieVerzweigungsgleichungen (22) definiert; nach (27), (17), (26)' bestehendie Abschätzungen

(29) I fji{x; Xj] \,l, ...)\<L{\x\ + \x.\)Z c(1x1^1,1^1^1; j = 0, 1, .. N £ ; i = 0, ± 1, .. .),

(30) /^(1,1,1,1,...)^

(j = N c + 1 , N e + 2, ...; i = 0, ± 1, .. .)•

IX. Asymptotische Lösungen. Auflösung der Bedingungsgleichungen.

Es sei 0 < # 1. Dann ist nach (29)

(31) V-, 1, 1, ...)£2dZ E (0 £j£N c )

Wir wählen e derart, daß 0 < s ^ 1, legen dann N E und Z, fest undwählen # so, daß 2l)Z c £l. Dann ist nach (30) und (31)

(32) \f j{ \£1 (/ = 0,1,...; » = 0, ± 1, • • •),wenn

(33) \x\£ft-, | íc 0 |^#, \x 1 \<L&, ..., I ZjyJ ^ ■&; \y ji \<=l.Betrachten wir statt (28) das System

(28)'

Da I in die f.. nicht eingeht, und da die b und die M des Hauptsatzesjetzt gleich der Einheit sind, so ist die Zahl min (et; a) dieses Satzes beidem Systeme (28)' gleich der Einheit. Da also £ = 1 erlaubt ist, so be-sitzt das System (28) im Bereiche (33) [die x sind jetzt die fx des Haupt-satzes] eine und nur eine Potenzreihenlösung {y i (je; x 0 , ... , x kc )}, derart, daß

(34) I yji(x-, x 0 , ..., x N¡¡ ) I 1. {j = 0, 1,-...; ¿ = 0, ± 1,...).

Wir behandeln endlich die Verzweigungsgleichungen (22), ebenso, wiedas in dem fünften Abschnitte angegeben ist. Es ergibt sich so, daß esein Bereich 33 von x gibt, derart, daß durch das System (9) die y. { alsosolche analytische Funktionen y j{ {x) definiert werden, daß in jedem Punktevon 58 die Abschätzung

(35) \y ji {x)\£l (j = 0, 1, ...; ¿ = 0, ± 1, ...)besteht.