Differentialgleichungen der Himmelsmechanik. 309

und für j > 0

-fco +00 +CO + CO +CO

i= —CO lc— —CO k— —CO 1^1 J i —— CO ÎC ——CO

l C/ - k

(je + ifk*

+ CO + CO + CO o

£ rr

\g\-°T + £ k~ l

+ CO

^^ + TK 2J

, œ \ je + i\ '

%— — CO

Um (13) zu beweisen, haben wir uns noch mit der letzten Summe zubeschäftigen. Es ist nach (1)

+ co + co + co

\jß + i\* (j0 + i)*+j*T* (J I + i)' + i' S

4" co

= V I

¿-J V ,\ a .

- + i) +j-r 2

wobei durch v eine gehörig gewählte Restklasse modulo q repräsentiertwird; es gibt nun nur endlich viele solche Summen, und offenbar sind

sie alle < k °° st ' , da q und t 2 feste positive Zahlen bedeuten.

XI. Asymptotische Lösungen. Beweis der Abschätzung (14).

Es ist nach (42)

(43) (i — 0,1,— 0, ± 1,...).

Sind Q t und Q„ solche Funktionen, für welche die Operationen [ ] }ierklärt sind, so sind die letzteren offenbar auch für das Produkterklärt und wir können (43) folgendermaßen deuten 18 ): Ist

I I ^ tttî. if Q°]ji I ^ ¿ (natürlich für alle j und i),

J j i j i

so ist

Also

J I

w ) Vgl. analoge Anwendungen von (41) bei Riemann, Werke, 2. Aufl. (1892),S. 250 und bei Lütkemeyer, Diss. Göttingen (1902).