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S. Bochner.

gegenüberstellt, in welcher die Funktionen 99* (z), f*(z) und K""(x,y)

als (durchweg) stetig und in jeder Variablen reinperiodisch mit der Periode 1

angenommen werden, dann kann man, überschlägig gesprochen, behaupten,

daß jede Aussage über die Gleichung (B) unmittelbar und wörtlich auf

1

die Gleichung (A) übertragbar ist, wenn man jede vorkommende Operation f

¿I

durch die entsprechende Mittelwertbildung ersetzt. (Wir halten uns hin-sichtlich der gegebenen und gesuchten Funktionen strikt an unsere Defi-nition der Fastperiodizität, obwohl man auf Grund bereits bestehenderVerallgemeinerungen des Fastperiodizitätsbegriffs (Stepanoff [1]) mit denüblichen Konzessionen an Unstetigkeiten im Falle (B) in gewisser Weiseauch im Falle (A) Schritt halten kann). Z. B. berücksichtigt man, daßdie Gesamtheit der Funktionen M { K (z, t) g (Z)} für alle möglichen fp.Funktionen g(t ) mit M { | g(t) | 2 } ^ 1, weil doch nach der SchwarzsehenUngleichung auch { | <7(£) I } ^ 1; e i ne ausgezeichnete Menge (mit e K (r, 0)als Majorante) bilden, dann gelangt man (vgl. Cöurant-Hilbert [1], III,§ 1 bis 4) wörtlich ebenso wie im Falle (B) zu dem Fredholmschen Satze:Die Gleichung (A) besitzt bei festem 1 entweder für jede Funktion f(z)eine ( einzige ) Lösung cp (2;), oder die zugehörige homogene Gleichung

cp{x)= l M { K(z, t) cp [t)}

besitzt eine endliche Anzahl voneinander linear unabhängiger Lösungenip 1 (x), ifz (z yj r ( x), in welchem Falle die Gleichung (A) nur fürsolche Funktionen f(x) lösbar ist, für die M{ f(t) y.<-( t) } = 0, ¿= 1, 2,.... r.Man kann zu diesem Satze auch auf jedem anderen im Falle (B) gang-baren Wege gelangen.

Weiterhin gelten z. B. die Zusammenhänge zwischen transponiertenGleichungen, die Sätze über symmetrische Kerne, Entwicklungen nachEigenfunktionen usw. — Die iterierten Kerne sind zu definieren durch

K f,+V (z, y) = M{ K fl (z, t) IC (t, y )}.

Die Resolvente

Hx,y,V)=2k n K n (x,y),

für welche

<P( X ) = f{x) + XM { K(z,t]k)f(t)},

ist selbstverständlich auch fastperiodisch und gleich dem Quotienten von• T) (cc ij •

ganzen Funktionen ^ — mit der Formel

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V

und der entsprechenden Formel für D (z, y, A), wiederum kann man dieEigenfunktionen durch Minoren höherer Ordnung erhalten usw.