Fastperiodische Funktionen. II.

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wählen gemeinsame Basen A v und verräumlichen eine jede Funktion p k (x)zu P k (Ç). Wenn wir zeigen, daß auch die Folge P,, (£) gleichmäßig kon-vergiert, sind wir mit dem Beweis zu Ende. Die Verräumlichung vonp t (x) — 'p k (x) wird durch l' t (f ) — P ; (C) geliefert, und jetzt brauchenwir nur noch zu zeigen, daß bei einer Verräumlichung P(f ) eines Polynoms p ( x)zu jedem Punkte £ (0) ein Punkt x'"' so zugeordnet werden kann, daß sichP(t <0) ) beliebig wenig von p(x [0) ) unterscheidet. Daß das möglich ist,folgt aber nach Kronecker, weil man (vgl. Bohr [8]) die endlich vielenKongruenzen

I a a x — I e (mod 2 ^ ( q rationale Zahl ; v, a = 1,2,3,...}

V V @

in x auflösen kann. — Bei einer ganzbasigen Funktion f(x) führt diese

V

Verräumlichung zu einer reinperiodischen Funktion von f.

3. Wir können nun den Satz aussprechen:

Hauptsatz B. Die allgemeinsten fjj. Funktionen sind die allgemeinstenDiagonalfunktionen der allgemeinsten grenzperiodischen Funktionen.

4. Unsere mehrvariabligen fp. Funktionen sind insofern die „allge-meinsten", als bei einer Iteration des Prozesses des Überganges zu mehr-variabligen Funktionen eine Erweiterung der Funktionenklasse nicht heraus-kommt. D. h. faßt man unsere allgemeinen Begriffe: Punkt, Intervall,Intervallänge, Verschiebungszahl, Periode usw. als „eindimensional" auf,und baut auf ihnen auf dieselbe Weise, wie diese aus den „tatsächlich ein-variabligen" Begriffen hergeleitet wurden, ihrerseits „mehrdimensionale"Begriffe auf, so wird dadurch die Klasse der fp. Funktionen nicht ver-größert.

§11-

Integralgleichungen.

Wir wollen noch am Beispiel der Integralgleichungen sehen, in wieunmittelbarer Weise Betrachtungen über reinperiodische Funktionen auffastperiodische übertragbar sein können.

Es liege eine reelle fp. Funktion zweier Variablen K(x,y ) und einer eel le fp. Funktion f(x) vor. Gefragt wird nach allen fp. Funktionen (p (x) Twelche für konstante Werte X der Gleichung

(A) cp(x) = f(x) — IM {K(x, t)<p(t) }genügen. Wenn man der Gleichung (A) die Gleichung

i

(B) cp* (x) = f* (x) — X f K* (x,t) cp* (t) dt

o