406 S. Boohner.

welche, wie man auf dem Wege über approximierende Polynome soforteinsieht, eine fp. Funktion ihres Raumes ist. Wir nennen f(x) eine Trans-formierte von 99(f). Den Fourierreihen ist es „anzusehen", daß jede ganz-basige Funktion als Transformierte einer reinperiodischen und jede be-liebige als Transformierte einer grenzperiodischen dargestellt werden kann.Wir wollen diese Aussage gleich in einer präziseren Form beweisen. Wennin der Substitution ( 1 ) jede Punktzahl G v in einer Komponente = 1, inallen übrigen = 0 ist, so wollen wir diese Substitution eine Diagonal-substitution, die Funktion f(x) eine Diagonalfunktion von 93(f), und 93(f)eine Verräumlichung von f(x) nennen. Man kann nun präziser behaupten,daß jede ganzbasige Funktion die Diagonaliunktion einer reinperiodischenund jede beliebige die Diagonaliunktion einer grenzperiodischen ist.Es liege ein Polynom

(2) IX e ""?

vor, und die (skalaren) reduzierten Zalilenmengen

A v = ( CC 1 , C¿ 2 , CCq , . . . )

V V V

seien bezügliche Basen der Komponentenmengen

K r = ( , A 3 , A 3 , ... ).

V V V

An Hand der Darstellungen

 a = c v n (j cc a g rational )

V V

XpX = J£c r/ia ci a x

V V V V

bilden wir die linearen Formen

\ C v n a CC a 'Q v O

V V V

mit der zweifach unendlichen Schar von Variablen a , indem einfach x überall,

V

wo es mit dem Faktor a„ auftritt, durch 'Ç r „ ersetzt wird, und substituieren

V

in J>]a n e l ~''"* statt der Formen in x die Formen in £. Das so ent-standene Exponentialpolynom ist offenbar grenzperiodisch in den Variablen

'Q vn mit der Grenzperiode (' 1' 9' 3' ' ") U1K "' e " ie Verräumlichung

von (2). Die benutzte Diagonaltransformation ist

Li = Cv2 = £v3 = ... =x, (v= 2, 3, ...)

V

Bei einer beliebigen Funktion f[x) approximieren wir sie durch Polynomeder Gestalt (2)

vA x )'VA x )>---> (~*f( x ))>