Fastperiodische Funktionen. II. 405

f(x) ~ Ají ,, e iA " x (alle Aa,,=\= 0) ist dann und nur dann reinperiodischmit der Periode p = [p 1 , ... ), wenn

f (X, • . • , X ' ; " , X , . . . ) = /* ( X , • . . X , ... ) (w = 1, 2, 3 , . . . ),

1 m m+1 1 m m+1

d. h. auf Grund des formalen Kalküls mit Fourierreihen und des Eindeutig-keitssartzes, dann und nur dann, wenn

co i -d 7i P/n % AfiX co i, AjiX

JJÄ A „e m e =2JA A „e (m = 1,2,3,...),

n—1 n—1

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also wenn jedes A n ein ganzzahliges Multiplum von — ist, also dann und

m _ P' n

nur dann, wenn die Funktion f(x) die ganze Basis (vgl. § 7, 13.)

A = (a 15 « 3 , ...)

mit

«,.= (0,0, ...,y,0, o, ...)

besitzt. Damit f(x) grenzperiodisch mit der Grenzperiode p — (p i; p. 2 , • • •)ist, ist notwendig und hinreichend, daß sie durch reinperiodische mitPerioden [pp] approximierbar ist, d. h. daß jede Zahl A n ein rationales

m

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Multiplum von — ist, d. h. es ist notwendig und hinreichend, daß f(x)Pm

die (im allgmeinen: nicht ganze) Basis

A = (k x , «„, ...)

mit

«» = (o, 0, 0,0, ...)

r %•

besitzt.

Aus eben Bewiesenem folgt, daß unsere „allgemeinen" Fourierreihenim Spezialfälle rein- und grenzperiodischer Funktionen dasselbe sind, wasin Abh. II, Anhang II im direkten Zuschnitt auf diese Funktionen alsFourierreihe definiert wird.

2. Es seien der x-Raum (x,x,...), der |-Raum (f, |, ...) und

12 12

irgendwelche finite Punktzahlen G 1 , C 2 , ... des x- Raumes in der Anzahlder Dimension des Raumes gegeben. Wenn man in eine beliebigefp. Funktion des i - Raumes 'p (£) die Substitution

£ = C x x

1

(1) £ = C 2 x • (i = Ox)

vornimmt, so entsteht eine Funktion des x- Raumes

f[x) = <p(Cx),