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S. Bochner.

f{x) durch f(x) majorisiert wird und daß daher jede ihrer im Mittelkonvergenten Folgen auch schon gleichmäßig konvergent ist.

10. Wörtlich übertragbar sind auch Wortlaut und Beweise der SätzeIII und IV, wonach Funktionen mit gemeinsamen Exponenten auch gemein-same approximierende Fejérpolynome besitzen, welche im Falle ausgezeich-neter Mengen sogar gleichartig approximieren. Analog zu Satz V habenwir auch den

Satz XXXIX. Jede ausgezeichnete Menge besitzt eine gemeinsame(sogar gleichartig) approximierende Folge von Fejér polynomen.

Denn der Beweis des Satzes V beruht auf zwei Tatsachen: auf derMajorisierbarkeit einer ausgezeichneten Folge und (vgl. § 1, 17. Bemerkung)auf dem „Satze B" über diophantische Approximationen aus Abh. II, S. 113.Nun überzeugt man sich leicht, daß der Wortlaut und der Beweis desSatzes B unverändert zu Recht bestehen, wenn man die dort vorkommen-den Zahlen , ..., ¡x und I finite Zahlen sein läßt.

11. Zum Schluß bemerken wir noch, daß die Sätze VII, VIII, IXüber absolute Konvergenz von gewissen Fourierreihen (linear unabhängigeExponenten, allgemeinere Zerlegungen in linear unabhängige Bestandteile,positive Koeffizienten) gleichfalls wörtlich richtig bleiben.

§ io.

Die Zuriickíührung auf grenzperiodische Funktionen.

In § 2, 7. haben wir einen auf dem Approximationssatz beruhendenBeweis für das bemerkenswerte Ergebnis aus Abh. II gegeben, daß eszu jeder einvariabligen fp. Funktion <p(£) grenzperiodische Funktionenf(x) = f(x,x,...) gibt, von denen die Funktion 95(f) die „Diagonal-

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funktion" ist, d. h. aus denen sie durch die Substitution x = x — x = ... — £

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hervorgeht

<p(£) = f(£> £> • • •)•

Auf ganz analogem Wege werden wir zeigen, daß allgemeiner auchjede mehrvariablige fp. Funktion sich als „Diagonalfunktion" von grenz-periodischen auffassen läßt, womit dann innerhalb der Gesamtheit allermehrvariabligen fp. Funktionen den grenzperiodischen Funktionen, die janur einen Teil dieser Gesamtheit ausmachen, der Charakter „primärer"Funktionen verliehen wird, auf welche alle anderen in einfacher Weisezurückführbar sind.

1. Man kann die rein- und grenzperiodischen Funktionen, die wirdurch Verschiebungseigenschaften definiert haben, in eindeutiger Weiseauch durch Schwingungseigenschaften charakterisieren. Die fp. Funktion