Fastperiodische Funktionen. II.

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Beweis. Es genügt nachzuweisen (vgl. Abh. II. S. 108), daß zu jedemc > 0 ein G > 0 so zugeordnet werden kann, daß je zwei Funktionen,für die in einem einzigen Punkte f die Ungleichung

IMO -

besteht, auch

- 9»»(Ol) ^ G

erfüllt ist (weil doch dann auf Grund der Schwarzsehen Ungleichungf \ 2 } ^ (-&f{ I f\}y ers t recht M{\cpp(t) — <Pv{t)\"} ^ C 3 ist). Offen-bar ist die Gesamtheit von Funktionen | cp fl (x) — <p v (x) | (/.i, v = 1, 2,3, ...)

ausgezeichnet. Bestimmt man zu e =ein Stetigkeits- ô (e), ó = (ri', N),

(mit <5'<|) und eine Verschiebungslänge 1(e) = (l , l , l, .. .) ihrer Majo-

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rante, dann erhält man wörtlich wie in 6.

0

9. Auf Grund des letzten Satzes kann man durch wörtliche Wieder-holung der Überlegungen in § 2, 1. nachweisen, daß die Polynomapproxi-mation der Funktion f(x) ~ £ AA„e tA " x durch Fejérpolynome geschehenkann, d. h. durch Ausdrücke der Gestalt

k

.... n/c —

+n, +njc

V V ft I v i I ^ ft II \ a ««n «• + •••

- Zj Zj \ L ~ -JT-) Ar ia¡ +...+r kak e

v¡ = -n, *t¡=— n/¡

wobei die Zahlen a lt ...,<x k linear unabhängige finite Zahlen sind (und,wie üblich, der Ausdruck (v 1 a 1 + ... -f- v h cc k )x durch die insgesamt end-

CO CO

liehe Summe v 1 a 1 x + • ■ • + £ a k x definiert ist). Denn bildet man

(7 = 1 a a o— 1 a a

für irgendeine finite Zahl cc den Kern

/ tz \ ^

+n / I l\ 1 sin ö at \ / _ x _ \

n «(«t)= 2{ l - A i L ) e ~ irat = n( . ¡ (vcct = v¿cct),

(7=1

an)

dann hat man wieder die Darstellung

s%; = m {f(x +1) n n l (cc 1 t)... n nk (a k t)},

aus welcher wiederum folgt, daß die Gesamtheit der Fejérpolynome von

ist schon dann gleichmäßig konvergent, wenn die Fourierreihen formal konvergieren,derart, daß für jedes n

lim AW

yin

vorhanden und endlich ist.