402 S. Bochner.

ist gänzlich im Intervall

(J) 2n v l X ^ 2 {n r + 1) l (v = l ,2

0 V o

enthalten und genügt der Relation

Das iV-dimensionale Volumen von Xj ist (<5') A , des Intervalls J selbst= (2Z) J \ Wegen g(x)^. 0 ist dann

0

M{g{t, t, ..t, X , (Ii) >0.

1 2 jV iV + 1 o

Wir bemerken noch folgendes. Weiß man von irgendeinem Punkte¿ = (f, f, £, ...), daß g (£) = c > 0, dann wird man zu derselben Schranke

12 3

s eführfc -

0

Aus der Parsevalschen Gleichung erhält man in Verbindung mitSatz XXXVI den

Satz XXXVII. Eindeutigkeitssatz. Jede fp. Funktion, die keinewesentlichen Terme enthält,

f(x) ~ 0,

ist identisch Null:

f(x) = 0.

7. Wir wollen noch etwas zu 3. nachtragen. Wegen der formalenKonvergenz der Fourierreihen von gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgt aus der Polynomapproximation, daß auch für eine beliebige fp. Funktion

die Fourierreihe des Mittelwertes über die Indizes ( k, k, ...) aus der

i s

ursprünglichen Fourierreihe durch gliedweise Mittelwertbildung, d. h. durchStreichung der Terme mit einer der Komponenten x, x, ... entsteht.

Ä] Ten

(Für den Spezialfall grenzperiodischer Funktionen vgl. Abh. II, Anhang II,S. 188, 202).

8. Wir sprechen ganz im Sinne von § 1, 6. von „Mittelkonvergenz"und „Mittelkonvergenz gegen eine vorgegebene fp. Funktion".

Satz XXXVIII. Eine ausgezeichnete Folge

Vi(»). <P 2 (z), (pA x )' •••>die im Mittel konvergent ist, ist gleichmäßig konvergent 3 ).

3 ) Man kann sogar folgendes beweisen. Eine ausgezeichnete Folge

<P r (*) ~ 2e iAn * (*=1,2,3,...)

(Fortsetzung der Fußnote 3 auf der nächsten Seite.)