Über Potenzreihen, deren Koeffizienten fast alleganzzahlig sind.

Von

M. Fekete in Budapest.

1. Man verdankt den unten folgenden interessanten Satz den HerrenPólya und Carlson, von denen der erstere ihn zuerst formuliert 1 ), derzweite aber zuerst bewiesen") hat:

1. Wenn eine Potenzreihe

(1) a 0 + a 1 x + a i x°~-\-a n x"+...

mit ganzzahligen 3 ) Koeffizienten a n im Einheitskreise konvergiert, so istdie dargestellte Ftmktion fix) entiveder rational oder über den Rand desEinheitskreises hinaus nicht fortsetzbar. Im ersteren Falle hat fix) dieForm

Pix)

(1 -x")" '

wobei P(x) ein Polynom, p und q ganze positive Zahlen bezeichnen.

2. Den wichtigen speziellen Fall dieses Satzes, wo die Koeffizienten-folge {a n } von r (l) beschränkt ist, also nur endlich viele voneinander ver-schiedene ganze Zahlen [enthält, hat Herr Szegö folgenderweise verallge-meinert 4 ):

*) G. Pólya, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten. Math. Ann. 77(1916), S. 497-513.

") F. Carlson, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten. Math. Zeitschr.Í) (1921), S. 1-13.

3 ) Ganzzahlig heißt: von der Form a + bi, wobei a und b ganze rationaleZahlen sind.

4 ) G. Szegö, Über Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten.Sitzungsber. der Preußischen Akad. d. Wiss. 1922, S. 88 — 91.