M. Fekete. Potenzreiken mit ganzzahligen Koeffizienten. 411

II. Wenn unter den Koeffizienten der Potenzreihe (1) nur endlichviele voneinander verschiedene komplexe Werte vorkommen, so ist die durch(1) dargestellte Funktion f(x) entweder rational, oder über den Einheits-kreis nicht fortsetzbar. Im ersten Falle hat f(x) die Form

wobei P(x) ein Polynom, p eine natürliche Zahl bezeichnet.

3. Herr Szegö hat auch allgemeinere Typen von Potenzreihen als (1ereben genannte untersucht, indem er die Bedingung der Endlichvielwertig-keit sämtlicher a n fallen ließ und das Bestehen dieser Bedingung nur für„fast alle" a n forderte 5 ). So gelangte er zum folgenden interessantenResultat 8 ):

III. Die Koeffizienten a n der Potenzreihe ( 1 ) mögen nur endlich vieleverschiedene Werte d ± , d,,, ..., d k annehmen, mit Ausnahme einer Folge

( ^ • ■ • s ^n r j • ■ •

von Koeffizienten, die den folgenden Bedingungen unterworfen sind:

1. lim —= 0.

n v

2. Sie sind beschränkt.

Dann stellt diese Potenzreihe eine eindeutige Funktion dar, deren Existenz-bereich durch einen Kreis | x | = r 1 begrenzt ist; die singular en Punkteim Existenzbereiche, wenn solche überhaupt vorhanden sind, sind einfachePole, die in Einheitswurzeln liegen. Der Fall r — oo ist so zu ver-stehen, daß die Funktion meromorph (eventuell rational) ist.

Dieser Satz ist eine Erweiterung von II und enthält zugleich (bis aufdie Bedingung der Beschränktheit der Koeffizienten) auch den sogenanntenFabryschen Lückensatz 7 ).

5 ) Eine Teilfolge {u n ,,} der unendlichen Folge {u„} enthält „fast alle" Gliedervon {«,,}, wenn lim — = 1 ist, oder, anders ausgedrückt, wenn lim — —- = 1, wobei

r-> co riv m ~y oo rti

A(m) die Anzahl derjenigen Glieder von { u n } bezeichnet, deren Index <m ist unddie der Teilfolge {u„ v } angehören.

B ) G. Szegö, Tschebyscheffsche Polynome und nichtfortsetzbare Potenzreihen.Math. Ann. 87 (1922), S. 90-111, Satz 3, S. 97-101.

') Fabry, Sur les points singuliers d'une fonction donnée par son développe-ment en série et l'impossibilité du prolongement analytique dans des cas très générauxAnn. scient, de l'École Normale Supérieure (3) 13 (1896), S. 367 — 399; s. insbes.S. 381 — 382. Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers.Acta math. 22 (1899), S. 65—87.

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