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M. Fekete.

4. Durch Herrn Szegö angeregt, habe ich mir nun die Frage gestellt,ob für Potenzreihen, deren Koeffizienten fast alle ganzzahlig sind, eineähnliche simultane Erweiterung von I und des Fabryschen Lückensatzesgilt? Es ist mir leider bisher nicht gelungen, diese Frage völlig zu er-ledigen, doch bin ich zu einem Teilergebnis gelangt, das vielleicht aufeiniges Interesse rechnen kann. Mein Resultat enthält gleichzeitig denSatz I und den Hadamardschen Spezialfall 8 ) des Fabryschen Lückensatzes;es kann folgenderweise formuliert werden:

IV. Es seien die Koeffizienten a n der Potenzreihe (1) mit dem Kon-vergenzradius 1 ganzzahlig, mit Ausnahme einer Folge (2) von Koeffi-zienten, für welche

lim inf —> 1

y -y co ~ l

besteht. Dann stellt diese Potenzreihe eine eindeutige Funktion dar, derenExistenzhereich durch einen Kreis \ x | = r ^ 1 begrenzt ist.

Die singulären Punkte im Existenzbereiche, ivenn solche überhauptvorhanden sind, sind Pole, die in Einheitswurzeln liegen. Der Fall r = o oist so zu verstehen, daß die Funktion meromorph (eventuell rational) ist.

5. Ich beweise diesen Satz mit Hilfe einer Methode, welche Herr Szegözu einem neuen Beweise des Hadamardschen Lückensatzes, ferner desSatzes I und verwandter Sätze benutzt hat 9 ). Ich stütze mich dabei aufeinen Hilfssatz, in welchem mein früheres Resultat 10 ), betreffend die An-näherung der Null durch ganzzahlige Polynome, in verschärfter Formwiedergewonnen wird. Dieser Hilfssatz lautet:

V. Es sei G eine Kurve in der komplexen x-Ebene von der Be-schaffenheit, daß man Polynome

(3) t n {x)^:x n +1^x n - i + ... +C (» = 1,2,...)

finden kann, für welche auf C (von einem geivissen n an)

K(s)| <#"

gilt, wobei ff eine nur von C abhängige positive Zahl bedeutet, die kleinerals 1 ist. Dann gibt es auch Polynome

9 n (x) = xn + g™x n - 1 + ••• + 9™ (» = 1> 2, ...)

8 ) Vgl. E. Landau, Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse derFunktionentheorie. Berlin 1916. S. 73.

°) A. a. 0. *).

10 ) 1°. A. a. 0. 4 ) S. 104. 2°. M. Fekete, Über die Verteilung der Wurzeln, beigewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Math. Zeitschr.17 (1923), S. 228-249; s. insbes. § 7, S. 246-249.