Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten. 413

mit ganzzahligen Koeffizienten, für welche auf G (von einem gewissen n an)

\9n( X )\ < K

ist, wobei ■& 1 eine feste positive Zahl kleiner als 1 bezeichnet.

Ich werde diesen Hilfssatz auf dieselbe Weise ableiten, wie ihn HerrKakeya 11 ) im Spezialfälle bewiesen hat, wo G ein reelles Intervall vonder Länge < 4 ist. Ich betrachte mit Herrn Kakeya die linearen Kom-binationen

L n ,k( x ) — in (®) + tn-l( x ) + ^2 ' ^n-2 ( x ) + • • • + ^n-k h ( x )der Polynome (3). Offenbar gibt es unter diesen linearen Kombinationenfür jedes »>4 auch solche, in welchen die Faktoren X^ l) , À« H) , ..., A„lkdem Betrage nach kleiner als 1 und die Koeffizienten der Potenzenx n , x n ~ x , x n_3 , ..x k+1 , x k ganzzahlig sind. Eine solche Kombinationläßt die Zerlegung

(4) (*n,k (*^) + Hn,k (^0ZU, wo

G n k (x) = x n + g^ k) x n ~ x + gf< k) x n ~* + • • • + 9n' k)

lauter ganzzahlige Koeffizienten hat, während

H n ,k («) = K nM x k + h[ n ' k) x"' 1 + ... + hl n ' k)

ein Polynom von höchstens &-tem Grade bedeutet, deren Koeffizienten demBetrage nach kleiner als 1 sind. Außerdem genügt L n ,n(x) überall auf Gder Ungleichung

(5) \L n ,k(x)\£r+# n - 1 + '& n -*-^... +#*<1^#.

Sei nun Je eine feste natürliche Zahl, für welche

ft k 1

(6)

ist. Man kann aus der Gesamtheit der Polynome

H n ,k(x) (»=¿*+1,4 + 2,...)

eine unendliche Folge

Hn lf k (^) ) Hn z ,k ( > • • • s ^n v ,k (%) t • • •

auswählen, welche für v—»oo auf G gleichmäßig konvergiert, da ja aus denbeschränkten Folgen

ht k) (¿ = 0, 1, 4; » = 4+1,4 + 2,...)

solche Teilfolgen

(» = 0,1, 2,..., 4; r = 1, 2, ...)

u ) Y. Okada, On Approximate Polynomials with Integral Coëfficients only.The Tohôku Math. Journal '23 (1923), S. 26 — 35.