414 M. Fekete.

sich aussondern lassen, für welche

lim hl"'' ' í !

V -> CO

existiert. Man kann also ein solches Zahlenpaar n u , n„ finden, daß n B > n„und auf C

(7) \Hn e , k (x)-H nak (x)\^

ist. Dann ist aber nach (4), (5), (6) und (7) daselbst

! Gn e ,k(x) — G n¡jtk (x ) I^ I Ln g , k(%) I + ! L„ ntk (x) I + I H n s ¡k (x) — H Ua:k (x) | < " g " H — g" + -g- = 1 ,folglich ist

r(x)=Gn e , k (x) — Gn aik (x) = X n e + 7l x^ 1 + ... + yn 0ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, für welches

Max j r(x) I = 0 < 1

<C)

ist. Nun konstruiert man mit Hilfe dieses Polynoms die g (x) des Hilfs-satzes mit größter Leichtigkeit. Ist nämlich

n = q-n a + r,

wo q und r ganze rationale Zahlen sind, welche den Bedingungen

9^0, 0 — 1

genügen, so setze man einfach

(8) g n {x) = x r [r{x)]*.

Die durch (8) definierten Polynome haben ja ganzzahlige Koeffizienten,ihr höchstes Glied ist x n und sie befriedigen auf C von einem gewissenn an die Ungleichung

n-r / 1 _\ n

I g n (x) ^\x r \W < KW = Kr* K- [d n ej <K,

wo K eine von C und n e abhängende, von n unabhängige Konstante,

i

aber eine positive Zahl bedeutet, welche > 6 n s und < 1 ist.6. Nun gehe ich zum Beweise von IV über. Da die Behauptungendieses Satzes im Falle, wo die durch (1) dargestellte Funktion f{x) überden Einheitskreis nicht fortsetzbar ist, offenbar richtig sind, so nehmeich an, daß sich am Einheitskreise eine reguläre Stelle x 0 von f(x) be-findet. Dann zeige ich, daß (1) die Zerlegung

(9) i>n, ¿7 x n = H(x) + P(x)

r=l »=i "