Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten.

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zuläßt, wo H(x) eine Hadamardsche. Reihe (d. h. eine Potenzreihe, fürwelche

n r

lim inf > 1

V 00 ^ V 1

besteht) bezeichnet, deren Konvergenzradius r größer als 1 ist, P(x) abereine Pólyasche Reihe ist, d. h. eine Potenzreihe mit ganzzahligen Koeffi-zienten und mit dem Konvergenzradius 1. Der obigen Annahme zufolgestellt P(x) gemäß I eine rationale Funktion von der Form

y(*)

(i -x*y

dar, wobei g(x) ein Polynom, p und q natürliche Zahlen bezeichnen, wäh-rend H(x) eine für \x\ <r reguläre Funktion h(x) definiert, derenExistenzbereich nach dem Hadamardschen Lückensatz durch den KreisX \ = r begrenzt ist. Die Funktion

besitzt ja die in IV behaupteten sämtlichen Eigenschaften. Um nun dieMöglichkeit der Zerlegung (9) zu beweisen, werde ich den „Bruchteil" der-jenigen Koeffizienten a Hy der Reihe (1) abschätzen, welche ausnahmsweisenicht ganzzahlig sind. Zu diesem Zwecke werde ich gewisse lineare Kom-positionen

(10) a n v + «n r -2 + ••• + {? a n v _ x +1

der Koeffizienten a Hr , a n> ,_i, a By _2,..., a n „_ 1 +i mit den ganzzahligenFaktoren 1, Â, //, ..., g bilden.

Es wurde vorausgesetzt, daß f(x) im Punkte x 0 des Einheitskreisesregulär ist. Sei arcx 0 = cp 0 . Sind cp 1 < cp 0 , g? 2 > <p 0 , R > 1, ä 0 > 0 ge-eignet gewählt, so ist gemäß dieser Voraussetzung f(x) regulär im Innernund auf der Kurve F (ö), bestehend aus den Kreisbögen

^ I x\ = R, <p i <[ arc x ^ tp 9 ,

j as I = 1 — ó, 9^ arc x <p t -f- 2 n

und aus den geradlinigen Strecken

1 — ô { x I ^ R , arc x = <p 1 ,

1 — ô I x \ ^ R , arc x = cp„,

(12)sobald

à > 0, ô ô n