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M. Fekete.

ist. Man hat alsdann

( 13) kfi v = a„ r + X dn,,-i H- a n,-i + • • • + 6 a n,._i + i

ru s)

-T(ä)

wo Q (x) ein Polynom (n v — — l)-ten Grades mit ganzzahligen Koeffi-zienten und mit dem höchsten Koeffizienten Eins bezeichnet. Ich willzeigen, daß bei geeigneter Wahl dieses Polynoms der Betrag von (10)(von einem gewissen v an) kleiner als 0 n " ausfällt, wobei 6 eine feste posi-tive Zahl bezeichnet, die kleiner als 1 ist. In der Tat, ist ö 1 <j ö 0 passendgewählt, so geht die Kurve r(ä) für ô <¡ durch die Transformation

in eine Kurve C(<5) über, deren Abbildungskonstante 12 ) kleiner als 1 ist.Nun kann man aber zu jeder Kurve mit einer Abbildungskonstante kleinerals 1 Polynome von der Form (3) finden, deren Betrag auf der Kurvevon einem gewissen Wert des Polynomgrades n an kleiner als ■ß n ist, wo-bei #<1, >0 ist und nur von der Kurve abhängt 13 ). Daher darf manden Hilfssatz Y auf die Kurve C(ô, ) anwenden. Danach gibt es Polyomeg n (x) mit ganzzahligen Koeffizienten und mit dem höchsten Gliede x n ,für welche auf C^) und somit für ô < <5 X a fortiori auf G(ô) (von einemgewissen )i an)

ist, wobei ■& 1 eine feste (von <5 unabhängige) positive Zahl kleiner als 1bezeichnet. Ich behaupte nun:

la ) Die Abbildungskonstante einer Kurve C ist gleich dem Halbmesser desjeni-gen Kreises mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt, auf dessen Äußeres das Äußere derKurve C konform und schlicht derart abgebildet wird, daß die Vergrößerung im un-endlich fernen Punkte gleich 1 ist.

13 ) Vgl. G. Faber: a) Über Tschebyscheffsche Polynome, Journal für die reineu. angew. Math. 150 (1919), S. 79—106; b) Potentialtheorie und konforme Ab-bildung, Sitzungsber. der math.-phys. Klasse der bay. Akad. d. Wiss. 1920, S. 49—64,insbes. § 3 . Vgl. auch a. a. O. 4 ) und 6 ).

(14)

! 9n O) I <

i»

(15)

Q[x) — g (#)