Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten. 417

leistet das Gewünschte. Man hat nämlich für ô < nach (11), (12),(13), (14) und (15)

I le I ■*"' ^ (Í) A^-ní-r 1 : Jtl ^ c & 1 " KV 1 7]/i' r S

I fc »v I ^ w f (1 _ ô) „„_ 1+2 \dS\<c 1 — M (o) ,

rió)

wo Cj eine von r unabhängige Konstante und M (ö) das Maximum vonI f(x) I auf r(ô) bezeichnet. Daraus folgt

i-—

i n v I n y

lim sup I Vk„ v \ <: J ,

v-> CO 1

wobei

y - lim inf ——

V —V CO — l

ist. Doch ist nach Voraussetzung des Satzes IV,

y> 1,

folglich

1 — — == L> 0,y

also besteht bei 6 = êf und für jedes ô ^ <5 X

i n,, i g

lim sup I Vk n¡r ! <[ y— ^ ,

V -> CO

somit auch

(16) lim sup i Vkn r |^0,

r-> co

wie behauptet wurde.

Aus der mit (16) äquivalenten Ungleichung

I kn,\£B n ', (0 < 0 < 1)

mit Hinsicht auf die Definition der Kompositionen (10) folgt, daß k Ky beigenügend großem r den Bruchteil 14 ) von a n¡ ergibt. Setzt man also

Vn = a „ » Wenn n +

X,, = [«„]. wenn n = n r

a n v = ( a n,,) >

so erhält man die Koeffizienten der Zerlegung (9). Damit ist der Be-weis von IV in allen Stücken dargetan.

14 ) Der Bruchteil (z) von z ist gleich der Differenz

z-[z],

wobei [z] diejenige ganze Zahl a + ib bedeutet, welohe zu z am nächsten liegt (gibtes solcher mehrere, so ist unter ihnen diejenige zu wählen, deren beide Koordinatena, b möglichst groß ausfallen) .

(Eingegangen am 24. 11. 1925.)