Ein Satz über die absolute Konvergenz von Fourierreihen,in denen sehr viele Glieder fehlen.

Von

S. Sidon in Budapest.

In der vorliegenden Note beweise ich zunächst denSatz I. Es sei l x < /„ < ... < X n ... eine unendliche Folge posi-tiver ganzer Zahlen, bei ivelcher die Bedingung

n—t

(i)

Jc= 1

für jedes n erfüllt ist 1 ). Ist dann

CO

2 0„ cos K x + b n sin K x )

n—1

CO

die Fourierreihe 2 ) einer beschränkten Funktion fix), so ist £ (I a » I + I b n \ )konvergent.

Beweis. Es ist für ein beliebiges x, wenn

sgn (a k cos X k x + b k sin X k x ) = e k

gesetzt wird,

n n

n 2J I a k cos X k x + b k sin X k x \ = n 5] e k (a k cos X k x + b k sin X k x)

k=1 ' k=1

2 .-r „ 2 31

= Jf(t)2e h coBX k (t — x)dt =Jf(t)P n (t - x) dt,

0 i = l 0

n

wo P (z) = J]~( 1 + £ k cos 2) ein nichtnegatives trigonometrisches Polynom

k=l

>) Dies ist *z. B. der Fall, wenn für jedes n j> 3 ist.

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2 ) Unter Fourierreihe ist hier immer die Fourierreihe einer im LebesgueschenSinne integrierbaren Funktion zu verstehen.