S. Sidon. Fourierreihen mit Lücken.
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bedeutet, dessen Absolutglied =1 ist, und das wegen (1) offenbar sämt-liche e k cos A k z (k ^n) als Glieder enthält 3 ). Daraus folgt aber
n
I a k cos A,, a; + b k sin A k x | < 2 Max \f(x)\
k = 1
für jedes x und n , womit I. bewiesen ist.
Ein unmittelbares Korollar des soeben bewiesenen Satzes ist, daß dieBeschränktheit der Funktion f[x) schon ihre Stetigkeit zur Folge hat.I. ist verschiedener Verallgemeinerungen fähig. Z. B. läßt sich auch
.. n 02
für X n = 2 die Konvergenz von ( | a n | -f- | b n | ) beweisen.
n=1
Ich erwähne hier noch das folgende Analogon des Satzes I, das sichauch auf ganz ähnliche Weise beweisen läßt.
Satz II. Gilt (1) und ist die trigonometrische Reihe
00
2] (a n cos l n x + b n sinA n x)
71=1
die Fourierreihe einer Funktion von beschränkter Schwankung, so läßt
CO
sich dies auch von sämtlichen Reihen ^ e k (a k cos  k x + b k sin x) be-
i-= i
hausten, ivo die e k voneinander unabhängig die Werte 1 oder — 1 an-nehmen können.
Die letzten Reihen stellen sogar Integralfunktionen dar, woraus dannweiter folgt:
Gilt (1) und ist die trigonometrische Reihe
CO
£ (a n cos X n x + b n sin l n x)
n=1
eine Fourierreihe, so sind es auch alle
CO
£ e k (a k cos l k x + b k sin l k x).
k=l
3 ) Dieses Produkt — ohne die e k — wurde zum ersten Male von Herrn F. Rieszin seiner Arbeit: Über die Fourier-Koeffizienten stetiger Funktionen von beschränkterSchwankung, Math. Zeitschr. 2 (1918), S. 312—315, angewendet.
(Eingegangen am 14. 7. 1926.)
Nachtrag bei der Korrektur.
Wie ich nach Abfassung dieser Note bemerkte, bedient sich auch Herr Bohrbeim Beweise der absoluten Konvergenz der Fourierreihe einer fastperiodischenFunktion im Falle linear-unabhängiger Exponenten des Produktes P„ (z) (auch ohnedie ei¡) (vgl. Bochner, Fastperiodische Funktionen, Math. Annalen 90 (1926), S. 119—147).Da aber hierbei auch der Kroneckersche Satz über diophantische Approximationenzur Anwendung kommt, ergibt diese Beweismethode nicht auch unseren obigen Satz I.
15. 8. 1926.