Sur une nouvelle fonction entière et son applicationà la théorie des nombres.

Von

S. Wigert in Stockholm.

Introduction.

Dans une note récente 1 ) j'ai étudié la fonction définie pour

R (z) > 0 par la série

y I

¿—i v >

ix- 1 e

fi K z_ 2

k étant un entier positif >1. En supposant le nombre k pair, L k (z )admet la formule de transformation

(A)

T £ (k) i

L A Z ) = +

ri

-iMi) , !

1 1- 1

kz'

(2 i* + l) (ï-l)jli

„ w

L„

(2*)

! ■ I _(2v + l)jii\

+ e

(2v+l) [k —l)xi~ 2k

1+

1

Z *

1 (2v+l)7li\

(2*) k e 2k

où nous avons posé

CO

4(*) A—— •

v — 1 1 k v k z

e v z -\

Si k est impair, on aura seulement une formule asymptotique de trans-formation, comme je l'ai montré dans la note citée.

') Sur une extension de la série de Lambert, Arkiv för Matematik etc. 19 A,Nr. 8, 1925.