Intuitionistische Mathematik. III.

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= lim { a, (ß 1 -|- ... + ß r )}, so daß auch { k , ß} für jeden basierten quasi-

V

vollständigen Erzeugungswert a als basierter quasi-vollständiger Erzeugungs-wert definiert ist, während überdies ein beliebiger basierter quasi-voll-ständiger Erzeugungswert a einen Abschnitt von { «, ß} darstellt.

Auf Grund dieser Definition beweist man, in derselben Weise wie dieanaloge Eigenschaft der Potenz daß die Gleichwertigkeit bzw. Inhalts-gleichheit von ß und ß° einerseits und von a und a° andererseits, dieGleichwertigkeit bzw. Inhaltsgleichheit von {ci,/?} und {cc°,ß°} nach sichzieht. Der symbolische Ausdruck {a, ß} ist mithin nicht nur für einenbeliebigen basierten quasi-vollständigen Erzeugungswert a und einen be-liebigen quasi-vollständigen Erzeugungswert ß als basierter quasi-vollstän-diger Erzeugungswert, sondern auch für eine beliebige nichtverschwin-dende Ordnungszahl a und eine beliebige Ordnungszahl ß als nichtver-schwindende Ordnungszahl definiert.

Wie weit man indessen zur Bezeichnung von Ordnungszahlen mit derEinführung neuer Zahlsymbole und Verknüpfungssymbole auch fortfährt,so läßt sich dabei doch die Spezies der eingeführten Symbole in jedemStadium als endlich betrachten, weil jede Definition einer Fundamental-reihe von Symbolen r lt r„, ... auf die Definition eines einzigen, auf einbeliebiges Element von A, mithin auf eine beliebige endliche Gruppe vonSymbolen 1 bezüglichen Symboles r hinauskommt. Wenn wir nun nursolche Verknüpfungssymbole zulassen, welche je aus einer beliebig vorge-gebenen endlichen geordneten Menge von Ordnungszahlen entweder eineOrdnungszahl erzeugen oder unmöglich eine Ordnungszahl erzeugen können,so bilden in jedem Stadium der Symboleinführung diejenigen Zusammen-setzungen der schon eingeführten Elementarsymbole, welche Ordnungs-zahlen repräsentieren, eine zählbare (und selbstverständlich auch abzähl-bar unendliche) Spezies, von der übrigens mehrere Elemente dieselbe Ord-nungszahl repräsentieren können.

Hieraus folgern wir die Unmöglichkeit, ein System a von Zahlsymbolenund Verknüpfungssymbolen der angegebenen Art einzuführen, das die Dar-stellung aller Ordnungszahlen erlaubt. Nehmen wir nämlich einen Augen-blick die Existenz eines diese Eigenschaft besitzenden Systems a an, zählenwir diejenigen durch a gelieferten endlichen Zusammensetzungen von Ele-mentarsymbolen, welche nichtverschwindende Ordnungszahlen repräsentieren,als eine Fundamentalreihe ab und sei ß v die dabei der natürlichen Zahl v

CO

entsprechende Ordnungszahl. Alsdann kann die Ordnungszahl ß<o=2jßv

V = 1

keinem ß v gleich sein, womit wir zu einem Widerspruch gelangt sind.

In analoger Weise zeigt man, daß die Spezies O der Ordnungszahlennicht aufzählbar ist. Andererseits kann man jeder endlichen Ordnungszahl