486 L. E. J. Brouwer.

setz repräsentieren. Zur Bezeichnung der Ordnungszahlen des ersten Be-reichs genügten dabei das Zahlsymbol 1 und das Verknüpfungssymbol derAddition; zur Bezeichnung der Ordnungszahlen des zweiten Bereichs kamdas Zahlsymbol co und das Verknüpfungssymbol der Multiplikation hinzu,während die weitere Hinzunahme des Verknüpfungssymbols der Potenzie-rung die Bezeichnung der Ordnungszahlen des dritten Bereichs erlaubte.Indem wir auf den Aufbau systematischer Theorien von Bereichen vonOrdnungszahlen, welche über den dritten Bereich hinausgehen, verzichten,beschränken wir uns darauf, ein Beispiel eines Verknüpfungssymbols an-zugeben, das, in Vereinigung mit den Zahlsymbolen 1 und co und denVerknüpfungssymbolen der Addition, Multiplikation und Potenzierung, dieBezeichnung von Ordnungszahlen erlaubt, welche nicht nur größer sindals die Ordnungszahlen des dritten Bereichs, sondern auch größer als die

Co

Ordnungszahlen e, s 1 = e c , e 2 = e El , e 3 == e r =, ..., e' e n .

n=l

Es sei a ein beliebiger basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert,ß ein beliebiger quasi-vollständiger Erzeugungswert. Alsdann definierenwir den symbolischen Ausdruck {«, ß} mittels der induktiven Methode ander Hand der Erzeugung von ß durch folgende Festsetzungen:

Wenn ß einer aus einem einzigen Nullelemente bestehenden Speziesentspricht, so ist { u, ß } = u.

Wenn ß einer aus einem einzigen Vollelemente bestehenden Speziesentspricht, so ist {cc,ß} = cc".

Wenn ß = ß 1 -f- /? 2 + ... + ß m au f Grund der ersten erzeugenden Ope-ration und der symbolische Ausdruck {«,/?,,} für v = 1, 2, .. m für jedenbasierten quasi-vollständigen Erzeugungswert a als basierter quasi-voll-ständiger Erzeugungswert definiert ist, während überdies ein beliebiger basierterquasi-vollständiger Erzeugungswert u für v = 1, 2, .. m einen Abschnittvon {cc,ß„} darstellt, so ist { a, ß} = { a,ß 1 } -)-[{{ a, ß 1 }, ß„ } — {«, ß 1 }]

+ [{{(ßi + ßz)}, ß 3 } — {«> (ßi + /V}] + • • • + [{("> (ßi+ ßi~\- ••• +/ö,„_i)}, ß m }— {«, (ß 1 -j- /S 2 -j- • • • + ß m - 1)}]> so daß auch {«, ß } für jeden basierten quasi-vollständigen Erzeugungswert a als basierter quasi-vollständiger Erzeugungs-wert definiert ist, während überdies ein beliebiger basierter quasi-vollstän-diger Erzeugungswert a einen Abschnitt von {a, ß} darstellt.

CO

Wenn ß—JEßv auf Grund der zweiten erzeugenden Operation und

v= 1

{a, ß r } für jeden basierten quasi-vollständigen Erzeugungswert a und jedesv als basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert definiert ist, währendüberdies ein beliebiger basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert a fürjedes v einen Abschnitt von { u, ß t , } darstellt, so ist { a, ß } = { a, ß 1 }+ [{ ß > (ßl'T ßi)}~ i a ' ßl }] + [{ CC >(ßl + & + Ai)} ~ { a '(ßl + ßi)}} + • ••