Intuitionistische Mathematik. III.

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Dritter Fall. Jeder Rest von F besitzt eine Ordnungszahl > s. Zujedem m gibt es dann ein derartiges v m , daß für einen bestimmten (eigent-lichen oder uneigentlichen) Abschnitt F°„, von F,. m die ordnungsgemäßeSumme F m + F m + 1 ... + F Vm -± + Fy m die Ordnungszahl e besitzt, sodaß wenigstens eine der wohlgeordneten Spezies F' m , F' m+X , ..rf v „existiert und Vollelemente besitzt. Das heißt aber, daß es zu jedem mein derartiges Q m ^ m gibt, daß F ßm existiert und Vollelemente besitzt,so daß die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F lt F. v F s , ... inbezug auf den dritten Bereich induziert ist.

Kombinieren wir den hiermit bewiesenen Satz mit der Eigenschaft,daß jeder Ausschnitt sowie jeder Rest einer in bezug auf den dritten Be-reich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies gleichfalls in bezugauf den dritten Bereich vollständig induziert ist, so ergibt sich, daß jedemit einer in bezug auf den dritten Bereich vollständig induzierten wohl-geordneten Spezies F gleichwertige wohlgeordnete Spezies G ebenfalls inbezug auf den dritten Bereich vollständig induziert ist (und zwar mittelsder induktiven Methode an der Hand der Erzeugung von G ). Auf Grunddieser Eigenschaft bezeichnen wir eine Ordnungszahl als in bezug auf dendritten Bereich vollständig induziert, wenn jeder zu ihr gehörige vollständigeErzeugungswert in bezug auf den dritten Bereich vollständig induziert ist.

Dann aber ist auch jeder zu ihr gehörige quasi-vollständige Er-zeugungswert in bezug auf den dritten Bereich vollständig induziert. Seinämlich ß ein solcher quasi-vollständiger Erzeugungswert, daß der ent-sprechende vollständige Erzeugungswert a in bezug auf den dritten Bereichvollständig induziert ist. Jeder durch eine Formel a z ^ a' T -f- ß r " ausge-drückten scharfen Zerlegung in bezug auf den dritten Bereich eines kon-struktiven Unter wertes a T von a entspricht dann eine durch eine Formelß r ß' T + ß" ausgedrückte scharfe Zerlegung in bezug auf den dritten Be-reich des entsprechenden konstruktiven Unterwertes ß T von ß (welche leichteindeutig festgelegt werden kann, z. B. durch die Forderung, daß, wenn ß znicht fortfällt, jeder Rest von ß' z Vollelemente aufweisen soll). Auf Grunddieser scharfen Zerlegungen seiner konstruktiven Unterwerte aber stelltsich ß an der Hand seiner mit cc parallelen Erzeugung unmittelbar als inbezug auf den dritten Bereich vollständig induziert heraus.

§ 6. Im vorigen haben wir gesehen, wie zur endlichen Bezeichnungvon Ordnungszahlen zweierlei Elementarsymbole benutzt werden, nämlichZahlsymbole, welche je eine bestimmte Ordnungszahl, und Verknüpfungs-symbole, welche je ein aus gewissen geordneten endlichen Mengen vonvorgegebenen Ordnungszahlen jedesmal eine Ordnungszahl erzeugendes Ge-