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L. E. J. Brouwer.

Zerlegbarkeit von F in bezug auf den dritten Bereich entsprechend,F ^ F '^ F ', so besitzt die wohlgeordnete Spezies F', wenn sie nichtfortfällt, entweder einen Rest der Ordnungszahl e, oder alle nichtver-schwindenden Ordnungszahlen von Resten von F' sind größer als e.

Sei F eine in bezug auf den dritten Bereich vollständig induziertewohlgeordnete Spezies, welche mit der ordnungsgemäßen Summe einerFundamentalreihe F i , F 2 , ... von in bezug auf den dritten Bereich scharfzerlegten wohlgeordneten Spezies gleichwertig ist. Wir wollen beweisen,daß die Fundamentalreihe F x , _F a , ... in bezug auf den dritten Bereichinduziert ist, und bemerken dazu zunächst, daß für die wohlgeordneteSpezies F, eben weil sie in bezug auf den dritten Bereich vollständiginduziert ist, eine der drei folgenden Eigenschaften bestehen muß:entweder F besitzt einen Rest mit einer Ordnungszahl des dritten Bereichs(die auch Null sein kann), oder von einem gewissen Reste von F besitztjeder Rest die Ordnungszahl e, oder aber jeder Rest von F besitzt eineOrdnungszahl > e. Diese drei Fälle behandeln wir der Reihe nach.

Erster Fall. F besitzt einen Rest F° mit einer Ordnungszahl desdritten Bereichs. Für ein bestimmtes m besitzt dann F m einen der-artigen Rest F hl „ , daß die ordnungsgemäße Summe der FundamentalreiheF a» + F m + i , • • • F" gleichwertig ist, so daß jedes Glied der

letzteren Fundamentalreihe eine Ordnungszahl des dritten Bereichs besitzt,und die Fundamentalreihe dieser Ordnungszahlen (eben weil ihre ordnungs-gemäße Summe eine Ordnungszahl des dritten Bereichs ist) in bezug aufden dritten Bereich induziert ist. Dann aber gilt dasselbe für die Funda-mentalreihe der Ordnungszahlen von F m + 1 , F m+2 , ... bzw. für die Funda-mentalreihe der Ordnungszahlen von Fm+i, Fm+%> • • •> mithin auch für dieFundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F m+1 , F m + „, ..., mithinauch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F i; _F 2 , F 3 , ... .

Zweiter Fall. Vom Reste F° von F besitzt jeder Rest die Ordnungs-zahl e. Für ein bestimmtes m besitzt dann F m einen derartigen Rest F m „,daß die ordnungsgemäße Summe der Fundamentalreihe F m „, F m + 1 , F m + 2 , .. .mit F° gleichwertig ist, so daß jedes Glied der letzteren Fundamental-reihe eine Ordnungszahl des dritten Bereichs besitzt und die Fundamental-reihe dieser Ordnungszahlen (eben weil ihre ordnungsgemäße Summe gleich eist) in bezug auf den dritten Bereich induziert ist. Dann aber gilt dasselbefür die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m+1 , F m + 2 , ... bzw. fürdie Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F," +1 , F 7 " + «, ... , mithinauch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F m + 1 , F m + 2 , . ..,mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten SpeziesFi, F«, F 3 ,