Intuitionistische Mathematik. III.

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werden kann, daß jeder Rest von F' entweder aus lauter Nullelementenbesteht oder die Ordnungszahl e oder einen Abschnitt der Ordnungszahl ebesitzt, und F" eine Ordnungszahl des dritten Bereichs besitzt (hierbeikönnen wir, ohne der wohlgeordneten Spezies F eine weitere Einschränkungaufzuerlegen, überdies fordern, daß F' entweder in Fortfall kommt oderwenigstens ein Vollelement enthält).

Eine in bezug auf den dritten Bereich scharf zerlegte wohlgeordneteSpezies ist ebenfalls scharf zerlegt in bezug auf den zweiten (mithin auchin bezug auf den ersten) Bereich. Nach dem obigen Beispiel G = G 1 + G.,+ G 3 + ..., wo G v eine vollständige wohlgeordnete Spezies der Ordnungs-zahl co,, bzw. m ki vorstellt, ist aber eine in bezug auf den zweiten Bereichscharf zerlegte wohlgeordnete Spezies nicht notwendig scharf zerlegt inbezug auf den dritten Bereich.

Eine wohlgeordnete Spezies F heißt vollständig induziert in bezugauf den dritten Bereich, wenn während ihrer Erzeugung bei jeder durcheine Formel F 0 = F x + F^ + • • • ausgedrückten Anwendung der zweitenerzeugenden Operation, wo jedes F v nach der Formel F v ~ F v + F v inbezug auf den dritten Bereich scharf zerlegt ist, die betreffende Funda-mentalreihe F x , F„. ... in bezug auf den dritten Bereich induziert ist,d.h. erstens entweder eine unbeschränkt wachsende Fundamentalreihe v x , r 3 ,...existiert, so daß jedes F r Vollelemente besitzt, oder ein solches m an-gegeben werden kann, daß F,'. für v > m aus lauter Nullelementen bestehtbzw. fortfällt, zweitens im letzteren Falle die Fundamentalreihe der Ordnungs-zahlen von FÍ' , Fi , ... (wobei wir einem fortfallenden F r die Ordnungs-zahl Null zusprechen) in bezug auf den dritten Bereich induziert ist. Dem-zufolge ist dann jedesmal auch F 0 in bezug auf den dritten Bereich scharfzerlegt.

Sei F^4... im ein Element der in bezug auf den dritten Bereich voll-ständig induzierten wohlgeordneten Spezies F. Der Reihe nach ergibt sich,daß dieses Element in F^...^,, in F ilin _.._ im _^ .. in F it ia , in F i¡ undin F je einen Abschnitt und einen Rest bestimmt, die in bezug auf dendritten Bereich gleichfalls vollständig induziert sind. Mithin haben wir denSatz, daß jeder Ausschnitt sowie jeder Rest einer in bezug auf den drittenBereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies F gleichfalls inbezug auf den dritten Bereich vollständig induziert ist.

Eine in bezug auf den dritten Bereich vollständig induzierte wohl-geordnete Spezies F ist offenbar scharf zerlegt in bezug auf den drittenBereich, weiter quasi-vollständig und, wie wir mittels der induktivenMethode ersehen, auch in bezug auf den zweiten (mithin ebenfalls in be-zug auf den ersten) Bereich vollständig induziert. Schreiben wir, der scharfen