482

L. E. J. Brouwer.

Mithin ist die Fundamentalreihe ß 1 ,ß 2 ,a 3 , ... induziert in bezug auf dendritten Bereich.

5. Wenn ß 1 ,ß a ,... eine Fundamentalreihe von Ordnungszahlen ist,welche mit der in bezug auf den dritten Bereich induzierten Fundamental-reihe u y von Ordnungszahlen des dritten Bereichs additiv-zusammengehörig ist, so gehört auch jedes ß v zum dritten Bereich undist die Fundamentalreihe in bezug auf den dritten Bereichinduziert.

Diese Eigenschaft ist eine unmittelbare Folge der Eigenschaften 3 und 4.

6. Ein beliebiger zu einer Ordnungszahl des dritten Bereichs gehörigerErzeugungswert ist vollständig induziert in bezug auf den dritten Bereich.

Für einen vollständigen Erzeugungswert folgt diese Eigenschaft un-mittelbar aus den Eigenschaften 3 und 4. Um sie für einen quasi-voll-ständigen Erzeugungswert (dessen Ordnungszahl wir als nichtverschwindendvoraussetzen dürfen) herzuleiten, genügt es, denselben zum entsprechendenvollständigen Erzeugungswert in Beziehung zu setzen.

Eine wohlgeordnete Spezies F heißt unbestimmt zerlegt in bezug aufden dritten Bereich , wenn sie in solcher Weise in einen (evtl. fortfallenden)Abschnitt F' und einen (evtl. fortfallenden) Rest F" regulär zerlegtwerden kann, daß jeder Rest von F entweder aus lauter Nullelementenbesteht oder einen mit e inhaltsgleichen Anfangsteil besitzt und F" miteiner Spezies des dritten Bereichs inhaltsgleich ist (ohne deshalb not-wendigerweise eine Ordnungszahl des dritten Bereichs besitzen zu müssen).

Eine in bezug auf den dritten Bereich unbestimmt zerlegte wohl-geordnete Spezies F braucht — schon im Falle, daß F" mit F identischund mit der Ordnungszahl co 1 inhaltsgleich ist — nicht notwendig un-bestimmt zerlegt in bezug auf den zweiten Bereich zu sein, wie ausfolgendem Beispiel hervorgeht: Es sei F v für v < lc 1 und G v für v^t.k 1eine vollständige wohlgeordnete Spezies der Ordnungszahl co''; es besteheF,, für v'^.k 1 und G r für v < k 1 aus einem einzigen Nullelement; und essei F — ( F x ~t- F. 2 -f- F s + ... ) -p ( G 1 + G<¡ + G s + • • • ) •

Ebensowenig ist eine in bezug auf den zweiten Bereich unbestimmtzerlegte wohlgeordnete Spezies G notwendigerweise unbestimmt zerlegt inbezug auf den dritten Bereich, wie folgendes Beispiel zeigt: Es sei G,. einevollständige wohlgeordnete Spezies, welche für v < k 1 die Ordnungszahl co r ,für v ^ die Ordnungszahl cú¡ c¡ besitzt, und es sei G — G 1 + G a -f- G s + ... .

Eine wohlgeordnete Spezies F heißt scharf zerlegt in bezug auf dendritten Bereich, wenn sie in solcher Weise in einen (evtl. fortfallenden)Abschnitt F' und einen (evtl. fortfallenden) Rest F" regulär zerlegt