Intuitionistische Mathematik. III.

481

verschwindet, mithin p = q - |- 1 (wo q ebenfalls eine Ordnungszahl desdritten Bereichs, deren Rang < k ist, vorstellt) und a = lim co q -n ( n eineunbeschränkt wachsende natürliche Zahl). Alsdann gibt es ein kleinstes ^,zu dem ein solches v x >0 bestimmt werden kann, daß eo«-(r 1 +l)>ßj-pitj-f ... + a Bl oo q ■ v 1 ; ein kleinstes , zu dem ein solches r 2 > v 1bestimmt werden kann, daß co q -(v., + 1) > cc x + + ••• + a "~ein kleinstes q . ¿ , zu dem ein solches > v„ bestimmt werden kann, daßc ° a '(. v a + 1) > a i + ß 2 + • • • ~r a ez ^ 0)9 ' v sl usw - Die Exponenten derAnfangsglieder von a ßl , a e „, ... müssen alle gleich q sein, während für mzwischen o n und g n+1 die Exponenten von a m kleiner als q sind. Mithinist die Fundamentalreihe a x , cc 2 , cc s , ... induziert in bezug auf den drittenBereich.

Bleibt als zweiter Unterfall, daß der letzte Exponent von p nichtverschwindet. Alsdann ist (nach Eigenschaft 2) p = lim p v , wo jedes p,.

V

eine Ordnungszahl des dritten Bereichs vorstellt, und p r+1 > p r für jedes v.Mithin ist auch die Ordnungszahl cc = co p gleich der Ordnungszahl lim co Py und

V

gibt es ein kleinstes g i; zu dem ein solches > 0 bestimmt werden kann,daß co 1Pri + 1 > «j + + ... + a gi co Pr ' ; ein kleinstes o._,, zu dem einsolches v„ > v x bestimmt werden kann, daß œ Pr - +1 > a x + a„ - - ...+ ^ ! e ^ n kleinstes q s , zu dem ein solches v 3 > r 3 bestimmt werdenkann, daß co Pr * +1 > a x + -(- ... + a e , ^ c ° 1 ' r ' '> usw - Bezeichnen wir denExponenten des Anfangsgliedes von mit er,', so müssen u ßl , a'„ n _, ... einebeständig wachsende Fundamentalreihe bilden, während für m zwischenp n und£) n + 1 die Exponenten von ec m kleiner als u ßn+1 sind. Weiter ist dieOrdnungszahl lim u ßy = p. Schreiben wir also a ßl — a ßj und a¿' n+i = — a' Cn

für jedes 1, so ist (eben weil die zu beweisende Eigenschaft fürRänge der ordnungsgemäßen Summe < Je schon feststeht) die Funda-mentalreihe a ßi , a ß [, ... in bezug auf den dritten Bereich induziert. Mit-

t f

hin sind auch zunächst die Fundamentalreihe oj a e>, co " ei , ..., sodann dieFundamentalreihe co" 1 ', co" 3 , . . . und schließlich die Fundamentalreiheß x , , ... in bezug auf den dritten Bereich induziert.

Im zweiten Falle ist die Ordnungszahl a 1 +a 3 +-.. gleich derOrdnungszahl œ + m 1 + co„ -j- ... und gibt es ein kleinstes o 1 , zu demein solches ^>0 bestimmt werden kann, daß co Vl+i > cc x + + • • •+ a Bi ^ o),., ; ein kleinstes o 2 , zu dem ein solches v„ > v x bestimmt werdenkann, daß co v ,+i > «i + a 2 + ... + a ßi ^ co„ 2 ; ein kleinstes o :1 , zu dem einsolches v 3 > v 2 bestimmt werden kann, daß w V3+1 >«i + «2+ •• • + ^!usw. Die Ränge von a e¡ , a e „, .. . müssen beständig wachsen, während für mzwischen q n und Q n+1 der Rang von a m kleiner ist als der Rang von ß e „ + 1 .