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L. E. J. Brouwer.

zu Je gehörigen Erzeugungswertes auftretende Anwendung der zweiten er-zeugenden Operation. Alsdann gilt unsere Eigenschaft, wenn sie fürjedes co Ty , sowie für jedes h (co ) gilt, nach dem vorhergehenden ebenfallsfür jedes C0 T ' +Ii+ --- +7 V ) un( J somit (weil die Fundamentalreihe r 13 r 9 ,...,also auch die Fundamentalreihe œ z ', cu Ti+I % œ Zi+r * +z \ ... bzw. die Fundamen-talreihe m T >, co z >-h (co z *), (o Zi+T *-h(co z '),... in bezug auf den dritten Bereichinduziert ist) auch für lim a> Ti+T ' + -- +T v — co T , sowie für lim h (eo T i+ r =+- ••+ r v)

7 V V

■■= h (co 1 ).

Also gilt unsere Eigenschaft für co 1 '.

2. Eine beliebige von Null verschiedene Ordnungszahl des drittenBereichs, deren letzter Exponent von Null verschieden ist, ist gleich derordnungsgemäßen Summe einer in bezug auf den dritten Bereich indu-zierten Fundamentalreihe von nichtverschwindenden Ordnungszahlen desdritten Bereichs.

Diese Eigenschaft ergibt sich unmittelbar mittels der induktivenMethode unter Benutzung der Eigenschaft 1.

3. Jeder Abschnitt (also auch jeder Rest und jeder Ausschnitt) einerOrdnungszahl des dritten Bereichs ist wiederum eine Ordnungszahl desdritten Bereichs (so daß der dritte ebenso wie der erste und der zweiteBereich der Ordnungszahlen ununterbrochen ist).

Die Eigenschaft braucht nur für eine beliebige von Null verschiedeneOrdnungszahl des dritten Bereichs ß bewiesen zu werden. Sie ergibt sichmittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung eines (aufGrund von Eigenschaft 1 existierenden) zu ß gehörigen vollständigen undin bezug auf den dritten Bereich vollständig induzierten Erzeugungswertes.

4. Eine Fundamentalreihe a 13 a„,... von Ordnungszahlen des drittenBereichs, deren (in üblicher Weise definierte) ordnungsgemäße Summeentweder eine Ordnungszahl des dritten Bereichs oder die Ordnungszahl eist, ist induziert in bezug auf den dritten Bereich.

Im ersten Falle dürfen wir, weil die ordnungsgemäße Summe von« 1 ,ß 2 ,... voraussetzungsgemäß quasi-vollständigen wohlgeordneten Speziesentspricht und mithin feststeht, entweder daß nur eine endliche Anzahl,oder daß eine Fundamentalreihe von nichtverschwindenden a,, existiert,annehmen, daß das letztere der Fall ist. Auch dürfen wir annehmen, daßcc 1 + «a + • •. eine Ordnungszahl des dritten Bereichs a vom Range k ist,während die Gültigkeit der zu beweisenden Eigenschaft für Ränge derordnungsgemäßen Summe < 1c schon feststeht. Weiter dürfen wir denBeweis beschränken auf den Fall a = co", wo p eine Ordnungszahl desdritten Bereichs vorstellt, deren Rang < lc ist.

Nehmen wir als ersten Unterfall an, daß der letzte Exponent von p