Intuitionistische Mathematik. III.

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der Gültigkeit des Satzes für Ränge < p eine Zahl des dritten Bereichsvorstellt, so daß sich auch ß m als eine Zahl des dritten Bereichs ergibt.

Eine Fundamentalreihe ß x , /? 9 , ... von Ordnungszahlen des drittenBereichs heißt induziert in bezug auf den dritten Bereich, wenn erstenseine solche steigende Fundamentalreihe existiert, daß die Ränge

von ß Vj , ß Vi , ... entweder beständig wachsen oder einander gleich sind,während für m zwischen v n und v n + 1 der Rang von ß m kleiner ist als derRang von ß Vn „, zweitens im letzteren Falle die Fundamentalreihe ß lt ß„, ...in bezug auf den dritten Bereich induziert ist.

CO

Schreiben wir cd"' = œ l , co M¡ — a> 2 , m"'* = co 3 , ..., co n — e , so ist

n= i

die (in üblicher Weise definierte) ordnungsgemäße Summe einer in bezugauf den dritten Bereich induzierten Fundamentalreihe von Ordnungszahlendes dritten Bereichs entweder gleich der Ordnungszahl e oder wiederumeine Ordnungszahl des dritten Bereichs.

Wir leiten jetzt eine Reihe von sechs Eigenschaften her:

1. Zu einer beliebigen von Null verschiedenen Ordnungszahl des drittenBereichs gehört sicher ein vollständiger Erzeugungswert, der vollständiginduziert in bezug auf den dritten Bereich ist, d. h. dessen konstruktiveUnterwerte alle Ordnungszahlen des dritten Bereichs besitzen, und für denbei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation die betreffendeFundamentalreihe von Ordnungszahlen in bezug auf den dritten Bereichinduziert ist.

Für eine Ordnungszahl vom Range Null ist die Eigenschaft evident.Beim Beweise für eine Ordnungszahl vom Range p dürfen wir also voraus-setzen, daß die Gültigkeit der Eigenschaft für Ordnungszahlen vonRängen < p schon feststeht. Weiter dürfen wir den Beweis beschränkenauf eine Ordnungszahl der Form co k , wo k eine Ordnungszahl des drittenBereichs vom Range q<p (für welche also die Gültigkeit unserer Eigen-schaft schon feststeht) vorstellt. Wir beweisen nunmehr nach der induk-tiven Methode, daß derjenige zu co k gehörige Erzeugungswert, der einemunserer Eigenschaft genügenden zu k gehörigen Erzeugungswert entspricht,ebenfalls unserer Eigenschaft genügt.

Sei r = + • • • + eine bei der Erzeugung des betreffenden

zu k gehörigen Erzeugungswertes auftretende Anwendung der ersten er-zeugenden Operation. Alsdann gilt unsere Eigenschaft, wenn sie fürw Ti , co z -, , .., cd 7 '", sowie für h(œ z *), ..h{co Xm ) gilt, ebenfalls für

w T > -J- co Tl ■ h (co T =) = ft> Ti+T % sowie für ä. (co ri ) + fo ri - A (co T ') = h (co ri+I =); ..mithin auch für co T ^ ++ w T,+ --- + Tm - i -h(co Tm ) = co z , sowie für

h (co T ' + -- -+ T »'-i) -j- co T i+- .Ji(a> r '") = h (co z ) •

Sei % = x t r a -f- r 3 + ... eine bei der Erzeugung des betreffenden