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L. E. J. Brouwer.

welcher Ausdruck als Produkt zweier Zahlen des dritten Bereichs wiederumeine Zahl des dritten Bereichs ist.

Mithin ist eine Potenz, deren Argument und Exponent Zahlen desdritten Bereichs sind, wiederum eine Zahl des dritten Bereichs.

Eine Fundamentalreihe ß l , ß^, ... von Ordnungszahlen des drittenBereichs vom Range Null heißt induziert in bezug auf den dritten Bereich,wenn sie induziert in bezug auf den zweiten Bereich ist. Eine Fundamental-reihe a ls .. tt m , ß 1 , ß%, ... von Ordnungszahlen des dritten Bereichs, beiwelcher ß 1 , ß.,, ... alle vom Range Null sind, heißt induziert in bezugauf den dritten Bereich, wenn die Fundamentalreihe ß 1 ,ß 2 ,... induziertin bezug auf den dritten Bereich ist.

Eine Fundamentalreihe ß 1 , ß. 2 , ... von Ordnungszahlen des drittenBereichs, bei welcher eine solche steigende Fundamentalreihe v 1 , v„, ...existiert, daß ß Vl . alle vom Range p (> 0) sind, während für m

zwischen v und v n + x der Rang von ß m kleiner als p ist, heißt induziert in bezugauf den dritten Bereich, wenn erstens eine solche steigende Fundamental-reihe Q l ,Q i ,... existiert, daß die Exponenten ß Sl ,ß B , i ,... der Anfangs-glieder von ß e ,, ß e ,, . ■. entweder beständig wachsen oder einander gleichsind, während für m zwischen g n und ç> n + 1 die Exponenten von ß m kleinersind als ß' e , M , zweitens im ersteren Falle bei der Fundamentalreiheß 'i , ß", •wo ß"= ß' 0l und jedes /C+i = ßL»~ ßL> eine steigendeFundamentalreihe o i; a 9 ,... auftritt, so daß ß a [, ß„ n , . .. alle vom Rangeh (< p) sind, während für m zwischen a n und a n + 1 der Rang von ß m kleinerals h ist, und die Fundamentalreihe ß", ß 2 , ... in bezug auf den drittenBereich induziert ist.

Wir wollen jetzt beweisen, daß die (in üblicher Weise definierte)ordnungsgemäße Summe einer in bezug auf den dritten Bereich induziertenFundamentalreihe ß lt ß^, ... von Ordnungszahlen des dritten Bereichs,bei welcher eine solche steigende Fundamentalreihe ^, r 3 , ... existiert,daß ß Vi , ... alle vom Range p sind, während für m zwischen v n und v n + 1der Rang von ß m kleiner als p ist, wiederum eine Ordnungszahl des drittenBereichs ist. Weil der Satz offenbar für p— 0 erfüllt ist, so dürfen wirbeim Beweise des Satzes für den Rang p die Gültigkeit des Satzes fürRänge < p voraussetzen. Überdies dürfen wir bei der Beweisführung an-nehmen, daß g 1 = 1 ist und uns auf den ersten Fall des vorigen Ab-satzes beschränken, weil für den letzten Fall der Satz ohne weitereseinleuchtet. Für eine derartige im ersten Falle befindliche Funda-mentalreihe ß 1 ,ß i ,... aber haben wir unter der Voraussetzung q 1 = 1 :

m ft' lim fil ,

lim ß r = lim ß Bn = lim aA« = m n = «r™ = ß w , wo ß cü auf Grund

m r= i n n