Simpliziale Approximationen in der allgemeinen

Topologie.

Von

Paul Alexandrofï in Moskau.

In dieser Arbeit will ich zeigen, daß kompakte metrisierbare topo-logische Räume sich auf eine bestimmte Weise durch aus endlich-vielenSimplexen zusammengesetzte Gebilde (71-dimensionale Komplexe) approxi-mieren lassen; daß, umgekehrt, jeder auf diese Weise approximierte Raumkompakt und metrisierbar ist; daß dabei ein ji-dimensionaler Raum 1 ) sichdurch (im klassischen Sinne) n-dimensionale Komplexe approximieren läßt,und w- dimensional e Komplexe höchstens w-dimensionale Räume approxi-mieren.

Die Kenntnis der Grundbegriffe der Dimensionstheorie 2 ) wird im fol-genden vorausgesetzt.

I. it-dimension ale Komplexe.

1. Wir verstehen unter einem höchstens n-dimensionalen Komplexe ein(abstrakt gegebenes) endliches System von höchstens n - dimensionalenSimplexen, von denen je zwei entweder zueinander fremd sind, oder einen

') S. zur Orientierung in der allgemeinen Dimensionstheorie (außer der 1913 imJourn. f. Math. 142 erschienenen kurzen Brouwersehen Note, welche dieses Unter-suchungsgebiet zuerst eröffnet hat):

Paul Urysohn, Les multiplicités Cantoriennes, Comptes Rendus de l'Ac. desSc. de Paris 175 (septembre 1922); Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes, Fund.Math. 7 und 8, sowie den Auszug aus der letzteren Arbeit, die demnächst in denMath. Annalen erscheint;

Karl Menger, Über die Dimension von Punktmengen, Monatshefte f. Math. u.Phys. 33 u. 34.

2 ) Siehe die Fußnote l ). Im folgenden werden insbesondere die UrysohnschenArbeiten zitiert. Vor allem ist das Kapitel V des Urysohnschen „Mémoire ..fürdas Folgende von grundlegender Bedeutung.

Mathematische Annalen. 9ß. 32